Плотность вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функции плотности вероятности для нормального распределения

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности[править | править вики-текст]

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде

то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают

.

Свойства плотности вероятности[править | править вики-текст]

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.

Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.

В одномерном случае:

.

Если , то , и

.

В одномерном случае:

.
,

где — борелевская функция, так что определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть — абсолютно непрерывная случайная величина, и — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

.

В одномерном случае:

.

Примеры абсолютно непрерывных распределений[править | править вики-текст]


См. также[править | править вики-текст]