Плотность вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность [распределения] случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Простое «прикладное» описание понятия[править | править код]

Плотность распределения одной случайной величины — это числовая функция , отношение значений которой в точках и задаёт отношение вероятностей попаданий величины в узкие интервалы равной ширины и вблизи данных точек.

Плотность распределения неотрицательна при любом и нормирована на единицу, то есть

При стремлении к функция стремится к нулю. Размерность плотности распределения всегда обратная к размерности случайной величины; скажем, если исчисляется в метрах, то размерностью будет м-1.

Вероятность попадания величины в интервал между и равна площади под графиком функции плотности вероятности .

Если в конкретной ситуации известно выражение для , с его помощью можно вычислить вероятность попадания величины в интервал как

.

Зная плотность вероятности можно также определить наиболее вероятное значение (моду) случайной величины как максимум . Также с помощью плотности вероятности находится среднее значение любой функции случайной величины:

.

Чтобы перейти к плотности распределения другой случайной величины нужно взять

,

где — обратная функция по отношению к (предполагается, что и связаны взаимно однозначно).

Значение плотности распределения не является вероятностью принять случайной величиной значение . Так, вероятность принятия непрерывной случайной величиной значения равна нулю. При непрерывном распределении случайной величины вопрос может ставиться о вероятности её попадания в некий диапазон, а не о вероятности реализации её конкретного значения.

Интеграл

называют функцией распределения (соответственно, плотность распределения вероятности — это производная функции распределения). Функция является неубывающей и изменяется от 0 при до 1 при . На практике часто допускается неточность терминологии, то есть плотность распределения , как и , именуется функцией распределения (иногда законом распределения), но обычно из контекста очевидно, о чём идёт речь.

Функции плотности вероятности для равномерного распределения

Самым простым распределением является равномерное распределение на отрезке . Для него плотность вероятности равна:

Функции плотности вероятности для нормального распределения

Широко известным распределением является «нормальное», оно же гауссово, плотность которого записывается как

,

где и — параметры: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Другие примеры плотностей распределения — одностороннее лапласовское ():

и ,

и максвелловское ():

и .

В двух последних примерах множитель подбирается в зависимости от параметра или так, чтобы обеспечить упоминавшуюся нормировку. Скажем, в случае распределения Лапласа оказывается . Как вышеназванные, так и другие распределения широко применяются в задачах физики. Например, в случае распределения Максвелла роль обычно играет абсолютная величина скорости молекулы в идеальном газе.

Выше была изложена суть понятия «плотность вероятности». Однако, такое изложение не является строгим — хотя бы потому, что случайная величина вполне может принимать дискретные значения, плотность нередко является функцией нескольких величин, в рассуждениях неявно предполагались (не всегда гарантируемые) непрерывность и дифференцируемость функций и так далее. Более пунктуальное представление даётся ниже.

Формальное определение плотности вероятности в теории меры[править | править код]

Плотность вероятности можно рассматривать как один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть  — произвольное измеримое пространство, а и  — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде

то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают

.

Свойства плотности вероятности[править | править код]

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.

Обратно, если  — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины[править | править код]

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.

Замечания[править | править код]

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.

В одномерном случае:

.

Если , то , и

.

В одномерном случае:

.
,

где  — борелевская функция, так что определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть  — абсолютно непрерывная случайная величина, и  — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где  — якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

.

В одномерном случае:

.

Примеры абсолютно непрерывных распределений[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]