Плотность последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Плотность последовательности ― понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения целочисленных последовательностей общего вида. Плотность последовательности является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности целых неотрицательных чисел . Под понятием плотности последовательности имеется в виду плотность , введённая в 1930 Шнирельманом (отсюда англ. название термина — Schnirelmann density) последовательности А, а именно:

где — количество членов последовательности , не превосходящих .

Связанные определения[править | править вики-текст]

Пусть арифметическая сумма последовательностей и , т. е. множество .

Если полагают , аналогично и т. д.

Если , то называется базисом -того порядка.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Плотность тогда и только тогда, когда совпадает с множеством всех целых неотрицательных чисел.
  • Неравенство Шнирельмана
  • Неравенство Манна ― Дайсона

Из неравенства Шнирельмана следует, что всякая последовательность положительной плотности есть базис конечного порядка. Применение этого факта к аддитивным задачам, в которых часто суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется посредством предварительного конструирования из заданных последовательностей новых с положительной плотностью. Например, с помощью методов решета доказывается, что последовательность , где пробегает простые числа, обладает положительной плотностью. Отсюда следует теорема Шнирельмана: существует такое целое число , что любое натуральное число есть сумма не более простых чисел. Эта теорема дает решение т. н. ослабленной проблемы Гольдбаха.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Разновидностью понятия плотности последовательности является понятие асимптотической плотности, частным случаем которой будет натуральная плотность.

Понятие плотности последовательности обобщается на числовые последовательности, отличные от натурального ряда, например на последовательности целых чисел в полях алгебраических чисел. В результате удается изучать базисы в алгебраических полях.