Плотность состояний

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение[править | править код]

Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или -пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: . С волновой функцией свободной частицы получаем соотношения

,

где — любое целое число, а — расстояние между состояниями с различными . Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат (, ).

Полное количество -состояний, доступных для частицы, — это объём -пространства, доступного для неё, делённый на объём -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от до .

Объём -пространства для одного состояния в -мерном случае запишется в виде

где — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в -пространстве: . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить и в выражении в терминах и . Например для свободного электрона: ,

С более общим определением связано соотношение

(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель ), где индекс соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности следует использовать правило

где постоянная Планка, — импульс, — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры[править | править код]

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

Доступный объём Объём для одного состояния Плотность состояний

где — индекс подзоны размерного квантования, функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж-1м-3 и структуру «некое выражение , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все ), то останется с размерностью [] = Дж-1м-3, Дж-1м-2, Дж-1м-1 и Дж-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только , но и .

Использование[править | править код]

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

,

где — функция Ферми, () — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: для толщи материала (и тогда концентрации будут в м-3), для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м-2), для квантовой проволоки (концентрацию получим в м-1) или (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Внешние ссылки[править | править код]