Плотность состояний
Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).
Определение[править | править код]
Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или -пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: . С волновой функцией свободной частицы получаем соотношения
- ,
где — любое целое число, а — расстояние между состояниями с различными . Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат (, ).
Полное количество -состояний, доступных для частицы, — это объём -пространства, доступного для неё, делённый на объём -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от до .
Объём -пространства для одного состояния в -мерном случае запишется в виде
где — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в -пространстве: . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить и в выражении в терминах и . Например для свободного электрона: ,
С более общим определением связано соотношение
(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель ), где индекс соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а — дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности следует использовать правило
где — постоянная Планка, — импульс, — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).
Примеры[править | править код]
В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:
Доступный объём | Объём для одного состояния | Плотность состояний | |
где — индекс подзоны размерного квантования, — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.
Все формулы для , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж-1м-3 и структуру «некое выражение , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все ), то останется с размерностью [] = Дж-1м-3, Дж-1м-2, Дж-1м-1 и Дж-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только , но и .
Использование[править | править код]
Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.
Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как
- ,
где — функция Ферми, () — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: для толщи материала (и тогда концентрации будут в м-3), для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м-2), для квантовой проволоки (концентрацию получим в м-1) или (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).
Внешние ссылки[править | править код]
- Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine