Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение[править | править код]

Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или $k$ -пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области $0<x<L_{x}$ или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки $L_{x}$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: $\psi (x)=\psi (x+L_{x})$ . С волновой функцией свободной частицы $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}$ получаем соотношения

2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k

,

где $N$ — любое целое число, а $\Delta k$ — расстояние между состояниями с различными $k$ . Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат ( $y$ , $z$ ).

Полное количество $k$ -состояний, доступных для частицы, — это объём $k$ -пространства, доступного для неё, делённый на объём $k$ -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от $0$ до $k$ .

Объём $k$ -пространства для одного состояния в $n$ -мерном случае запишется в виде

G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},

где $g_{s}$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в $k$ -пространстве: $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk$ . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить $k$ и $dk$ в выражении $g(k)dk$ в терминах $E$ и $dE$ . Например для свободного электрона: $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$ , $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

С более общим определением связано соотношение

D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})

(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель $1/V$ ), где индекс $s$ соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а $\delta$ — дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности $2n$ следует использовать правило

\sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}

где $\hbar$ — постоянная Планка, $p$ — импульс, $q$ — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры[править | править код]

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

где $l$ — индекс подзоны размерного квантования, $\Theta$ — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для $D(E)$ , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж^-1м^-3 и структуру «некое выражение $\rho (E)$ , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все $L$ ), то останется $\rho (E)$ с размерностью [ $\rho$ ] = Дж^-1м^-3, Дж^-1м^-2, Дж^-1м^-1 и Дж^-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только $D(E)$ , но и $\rho (E)$ .

Использование[править | править код]

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE

,

где $F$ — функция Ферми, $E_{c}$ ( $E_{v}$ ) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве $\rho$ здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: $\rho _{3D}$ для толщи материала (и тогда концентрации будут в м^-3), $\rho _{2D}$ для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м^-2), $\rho _{1D}$ для квантовой проволоки (концентрацию получим в м^-1) или $\rho _{0D}$ (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).