Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

${\begin{matrix}e^{ikx}&=&e^{ik(x+L)}\\1&=&e^{ikL}\\2\pi n&=&kL\\{\frac {2\pi }{L_{x}}}&=&\Delta k\\\end{matrix}}$${\begin{matrix}e^{{ikx}}&=&e^{{ik(x+L)}}\\1&=&e^{{ikL}}\\2\pi n&=&kL\\{\frac {2\pi }{L_{x}}}&=&\Delta k\\\end{matrix}}$

где n — любое целое число, а $\Delta k$$\Delta k$ — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от $k=0$$k = 0$ к $k=k$$k=k$. Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

$G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},$$G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{{\mathbf {k}}}},$

$g_{s}$$g_s$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk$$g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk$. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона: $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$$E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$, $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$$dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

С более общим определением связано соотношение

$D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})$$D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})$

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а $\delta$$\delta$ — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следует использовать правило

$\sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}$$\sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}$

где $\hbar$$\hbar$ — постоянная Планка.

Примеры

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
3D	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$${\frac {{\sqrt {2m^{3}}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
2D	$\pi k^{2}$$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{x}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{x}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
1D	$2k$$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{x}L_{y}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}$${\frac {{\sqrt {2m}}}{\pi \hbar L_{x}L_{y}}}\sum _{l}{\frac {1}{{\sqrt {E-E_{l}}}}}$
0D			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

где l — индекс подзоны размерного квантования, $\Theta$$\Theta$ - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics