Площадь поверхности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

Определения[править | править вики-текст]

Во всех определениях площади, в первую очередь описывается класс поверхностей для которых она определяется. Проще всего определяется площадь многогранных поверхностей: как сумма площадей их плоских граней. Тем не менее класс многогранных поверхностей не достаточно широк для большинства приложений

Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем. Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на части с кусочно гладкими границами: для каждой части выбирают плоскость и ортогонально проектируют на неё рассматриваемую часть; площадь полученных плоских проекций суммируют. Площадь самой поверхности определяют как точную верхнюю грань таких сумм.

Если поверхность задана параметрически кусочно -гладкой функцией , где параметры , изменяются в области на плоскости , то площадь можно выразит двойным интегралом

где , , , a и  — частные производные по и .

Комментарии[править | править вики-текст]

  • В частности, если поверхность есть график -гладкой функции над областью на плоскости , то
    • Из этих формул выводятся известные формулы для площади сферы и её частей, обосновываются приёмы для вычисления площади поверхностей вращения и т. п.
  • Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль , и играют составляющие метрического тензора самой поверхности.
  • Попытка ввести понятие площади кривых поверхностей как предела площадей вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности площадь вписанных в неё многогранников со всё более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников. Это наглядно демонстрирует известный пример, так называемый сапог Шварца, в котором последовательности вписанных многогранников с разными пределами площади строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра.

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мерзон Г.А., Ященко И.В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.