Площадь фигуры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[править | править вики-текст]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

Формулы[править | править вики-текст]

Area.svg
Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник  — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона.  — полупериметр, , и  — длины сторон треугольника.
Треугольник и  — две стороны треугольника, а  — угол между ними.
Треугольник и  — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат  — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и  — длины сторон прямоугольника.
Ромб  — сторона ромба,  — внутренний угол,  — диагонали.
Параллелограмм  — длина одной из сторон параллелограмма, а  — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и  — длины параллельных сторон, а  — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник и — длины диагоналей, и — угол между ними.
Правильный шестиугольник  — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник  — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник  — длина стороны многоугольника, а  — количество сторон многоугольника.
 — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а  — периметр многоугольника.
Круг или  — радиус окружности, а  — её диаметр.
Сектор круга и  — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс и  — большая и малая полуоси эллипса.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]