Площадь фигуры
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Об определении
[править | править код]Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:
- Положительность — площадь неотрицательна;
- Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .
Примеры квадрируемых фигур:
- многоугольники;
- любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
- фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.
Связанные определения
[править | править код]- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
[править | править код]- Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).
Формулы
[править | править код]Фигура | Формула | Комментарий |
---|---|---|
Правильный треугольник | — длина стороны треугольника. | |
Треугольник | Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника. | |
Треугольник | и — две стороны треугольника, а — угол между ними. | |
Треугольник | и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне. | |
Квадрат | — длина стороны квадрата. | |
Прямоугольник | и — длины сторон прямоугольника. | |
Ромб | — сторона ромба, — внутренний угол, — диагонали. | |
Параллелограмм | — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне. | |
Трапеция | и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота). | |
Четырёхугольник | и — длины диагоналей, и — угол между ними. | |
Правильный шестиугольник | — длина стороны шестиугольника. | |
Правильный восьмиугольник | — длина стороны восьмиугольника. | |
Правильный многоугольник | — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника. | |
— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника. | ||
Произвольный многоугольник | Формула площади Гаусса. — координаты вершин -угольника, | |
Круг | или | — радиус окружности, а — её диаметр. |
Сектор круга | и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах). | |
Эллипс | и — большая и малая полуоси эллипса. |
См. также
[править | править код]- Исчезновение клетки
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Треугольник о площадях треугольников
- Четырехугольник о площадях четырехугольников
Литература
[править | править код]- В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Архивная копия от 5 мая 2017 на Wayback Machine Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- §§ 244—276 в А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].
- Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
- В. А. Рохлин, Площадь и объём Архивная копия от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.