Псевдосфера

Псевдосфера

Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

Характеристики

Псевдосфера

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

$x=a\sin u$,

$y=0$,

$z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}}$,

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

$x=a\sin u\cos v$,

$y=a\sin u\sin v$,

$z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right)$,

$0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}},\ 0\leq v\leq 2\pi$.

Первая квадратичная форма:

$ds^{2}=a^{2}\operatorname {ctg} ^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}$

Вторая квадратичная форма:

$\phi _{2}=a(-\operatorname {ctg} u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})$

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ($4\pi a^{2}$), объём — половина от объёма шара (${\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}$).

Вариации и обобщения

• Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.

Источники

• Псевдосфера. — Прикладная математика
• Псевдосфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
• Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.