Поверхность Зейферта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, поверхность Зейферта — поверхность, границей которой является заданный узел или зацепление. Такие поверхности зачастую бывают полезны при исследовании соответствующего узла или зацепления. В частности, многие инварианты узлов проще всего вычисляются с её помощью. Поверхности Зейферта интересны и сами по себе, как объекты исследования. Названы в честь Герберта Зейферта.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — ручной ориентированный узел или зацепление в трёхмерном пространстве (или на трёхмерной сфере). Поверхностью Зейферта называется компактная связная ориентированная поверхность , вложенная в трёхмерное пространство таким образом, что её границей является , причём ориентация на поверхности индуцирует исходную ориентацию на .

Подчеркнем, что поверхность Зейферта должна быть ориентирована.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Всякая компактная связная ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном пространстве является поверхностью Зейферта своей границы.
  • Стандартный лист Мёбиуса имеет в качестве границы тривиальный узел, однако не является его поверхностью Зейферта, поскольку лист Мёбиуса неориентируем.

Род узла[править | править вики-текст]

Поверхность Зейферта данного узла или зацепления определена неоднозначно: один и тот же узел (или зацепление) может иметь несколько различных поверхностей Зейферта, минимально возможный род такой поверхности называется родом узла, является его инвариантом и обозначается через .

К примеру:

  • Род тривиального узла равен 0 (поскольку он является границей диска); обратно, если род узла равен нулю, то узел тривиален.
  • Трилистник, как и восьмёрка, имеют род 1.
  • Род торического узла типа равен .
  • Степень полинома Александера является оценкой снизу на удвоенный род узла.

Фундаментальным свойством рода является его аддитивность по отношению к связной сумме узлов:

Ссылки[править | править вики-текст]

  • SeifertView programme — построение поверхностей Зейферта для различных узлов.