Поверхность второго порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Типы поверхностей второго порядка[править | править вики-текст]

Цилиндрические поверхности[править | править вики-текст]

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то  — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси .

Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:
Cil.png Par.png Hip el.png
Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности[править | править вики-текст]

Коническая поверхность.

Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где  — однородная функция, то  — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.

  • Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Поверхности вращения[править | править вики-текст]

Поверхность называется поверхностью вращения вокруг оси , если для любой точки этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости с центром в и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , то  — поверхность вращения вокруг оси .

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид:
Gnuplot ellipsoid.svg Hib com.png Hib sim.png El Par.png

В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид[править | править вики-текст]

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью или является параболой.

Гиперболический параболоид[править | править вики-текст]

Гиперболический параболоид.

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью или является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности[править | править вики-текст]

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти, решив систему уравнений:

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка[править | править вики-текст]

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

Если обозначить , то уравнение приобретает следующий вид:

Инварианты[править | править вики-текст]

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

  • Связанных с матрицей :
    • , где  — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • Связанных с блочной матрицей :[источник не указан 1077 дней]

При параллельном переносе системы координат величины остаются неизменными.[источник не указан 1077 дней] При этом:

  • остается неизменной только если
  • остается неизменной только если

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]