Поворот Вика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор[править | править вики-текст]

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

,

если координата принимает только мнимые значения. То есть, задачу в пространстве Минковского с координатами , , , , заменяя можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами , , , .

Статистическая и квантовая механика[править | править вики-текст]

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры мнимым временем . Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре . Относительная вероятность найти заданный осциллятор в состоянии с энергией есть , где константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой :

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время с Гамильтонианом . Относительное изменение фаз базового состояния с энергией есть где постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний приводит к произвольной суперпозици есть, пропуская нормирующий множитель,

Статика и динамика[править | править вики-текст]

Поворот Вика связывает статические задачи в измерениях с динамическими задачами в измерениях, "заменяя" одно пространственное измерение на время. В случае, где примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны . Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название «принцип наименьшей энергии». Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

где  — коэффициент упругости струны и  — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача - это бросание камня вверх; на траектории камня в соответствии с "принципом наименьшего действия" достигается локальный минимум действия (действие это интеграл от функции Лагранжа):

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя ) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив на , на , и коэффициент упругости на массу камня :

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Wick rotation — a blog introduction
  • A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
  • Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.