Погрешность измерения

Сюда перенаправляется запрос «Относительная точность». На эту тему нужна отдельная статья.

Сюда перенаправляется запрос «Абсолютная точность». На эту тему нужна отдельная статья.

Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение никакой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно рекомендации РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины х_д, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 с означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с некоторой оговорённой вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка, предел погрешности).

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

• Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

$\Delta x={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{2}}$$\Delta x={\frac {x_{{\max }}-x_{{\min }}}{2}}$

• Средняя квадратическая погрешность:

$\ S=\left.{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}}\right.$$\ S=\left.{\sqrt {{\frac {\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}}}\right.$

• Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

$\ S_{x}={\frac {S}{\sqrt {n}}}=\left.{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n(n-1)}}}\right.$$\ S_{x}={\frac {S}{{\sqrt {n}}}}=\left.{\sqrt {{\frac {\sum _{{i=1}}^{{n}}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n(n-1)}}}}\right.$

Классификация погрешностей

По форме представления

Абсолютная погрешность — $\Delta X$$\Delta X$ является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины $X_{\textrm {meas}}$$X_{\textrm {meas}}$ (“meas” от “measured” — измеренное). Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины $X_{\textrm {meas}}$$X_{\textrm {meas}}$ может быть различной. Если $X_{\textrm {meas}}$$X_{\textrm {meas}}$ — измеренное значение, а $X_{\textrm {true}}$$X_{\textrm {true}}$ — истинное значение, то неравенство $\Delta X>|X_{\textrm {meas}}-X_{\textrm {true}}|$$\Delta X>|X_{\textrm {meas}}-X_{\textrm {true}}|$ должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина $X_{\textrm {meas}}$$X_{\textrm {meas}}$ распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

• Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
• Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,3806488(13)×10⁻²³ Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,3806488×10⁻²³±0,0000013×10⁻²³ Дж/К.

Относительная погрешность — Погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к опорному значению измеряемой величины. (РМГ 29-2013 п. 7.11)

погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99): $\delta _{x}={\frac {\Delta x}{x_{\textrm {true}}}}$$\delta _{x}={\frac {\Delta x}{x_{\textrm {true}}}}$, $\delta _{x}={\frac {\Delta x}{\bar {x}}}$$\delta _{x}={\frac {\Delta x}{\bar {x}}}$.

Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

Приведённая погрешность — Погрешность средства измерений (СИ), выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к нормирующему значению величины.

Примечание: часто за нормирующее значение принимают максимальное значение диапазона измерений или разность между максимальным и минимальным значениями диапазона измерений.

Примечание: приведенную погрешность обычно выражают в процентах. (РМГ 29-2013, п. 7.12).

Погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле $\gamma _{x}={\frac {\Delta x}{X_{n}}}$$\gamma _{x}={\frac {\Delta x}{X_{n}}}$, где $X_{n}$$X_n$ — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

• если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то $X_{n}$$X_n$ определяется равным верхнему пределу измерений;
• если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведённая погрешность также является безразмерной величиной.

По причине возникновения

• Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
• Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
• Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью — основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора. В различных областях науки и техники могут подразумеваться различные стандартные (нормальные) условия (например, Национальный институт стандартов и технологий США за нормальную температуру принимает 20 °C, а за нормальное давление — 101,325 кПа); кроме того, для прибора могут быть определены специфические требования (например, нормальное рабочее положение). Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора — например, температурная (вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной), установочная (обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения), и т. п.

Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)×10ⁿ, где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.

По характеру проявления

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно 0, независимо реализующуюся в каждом измерении (некоррелированную по времени).

Основным свойством случайной погрешности является возможность уменьшения искажения искомой величины путём усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (см. Центральная предельная теорема). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

Однако априорная убежденность в «нормальности» на основании ЦПТ не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Обусловлена она нарушениями статистической устойчивости.

Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.

По способу измерения

Погрешность прямых измерений вычисляется по формуле

$\Delta x={\sqrt {(t)^{2}+(A)^{2}}}$$\Delta x= \sqrt{(t)^2 + (A)^2}$

где:

• $t=S_{x}t_{\alpha ,(N-1)}$$t= S_x t_{\alpha,(N-1)}$:
  • $S_{x}$$S_{x}$ — стандартная ошибка среднего (выборочное СКО, деленное на корень из количества измерений $N$$N$);
  • $t_{\alpha ,(N-1)}$$t_{\alpha,(N-1)}$ — квантиль распределения Стьюдента для числа степеней свободы $(N-1)$$(N-1)$ и уровня значимости $\alpha$$\alpha$;
• $A$$A$ — абсолютная погрешность средства измерения (обычно это число, равное половине цены деления измерительного прибора).

Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины. Если $F=F(x_{1},x_{2}...x_{n})$$F=F(x_1,x_2... x_n)$, где $x_{i}$$x_{i}$ — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность $\Delta x_{i}$$\Delta x_{i}$, то:

$\Delta F={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\Delta x_{i}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\right)^{2}}}$$\Delta F={\sqrt {\sum _{{i=1}}^{n}\left(\Delta x_{i}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\right)^{2}}}$

Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений вычисляется аналогично вышеизложенной формуле, но вместо $x_{i}$$x_{i}$ ставится значение, полученное в процессе расчётов.

Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, из аксиом квантовой механики следует принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины».

См. также

• Измерение
• Класс точности
• Метрология
• Методы электроаналитической химии
• Отклонение от круглости
• Мультипликативная погрешность

Литература

• А. И. Якушев, Л. Н. Воронцов, Н. М. Федотов. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. — 6-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 1986. — 352 с.
• Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др. Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие / под ред. Гольдина Л. Л.. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 704 с.
• Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. — М.: Высшая школа, 2002. — 348 с. — ISBN 5-06-004070-4.

Ссылки

• Погрешность и неопределённость
• Что означает класс точности измерительного прибора
• Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. — ISBN 5-283-04513-7.
• РЕКОМЕНДАЦИЯ МОЗМ № 34. Классы точности средств измерений