Погружение (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В топологии, погружение или иммерсия — такое отображение одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в имеет окрестность , которую гомеоморфно отображает на .

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия и являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности .

Классификация погружений[править | править вики-текст]

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом и непрерывно зависит от . Дифференциал погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения в касательное расслоение . Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов.

Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля . Например, так как , то имеется только один класс погружений сферы в , так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (то есть сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как , то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а так как расслоение Штифеля над гомеоморфно проективному пространству и , то имеется только два класса погружений в .