Подмножество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Определение[править | править вики-текст]

Множество является подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежит . Формальное определение:

Множество называется надмно́жеством множества , если  — подмножество .

Существует два символических обозначения для подмножеств:

« является подмножеством » обозначается « является собственным подмножеством » обозначается Примечание
Внешний вид символа намекает, что если , то .
Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным».

Обе системы обозначений используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что называется надмножеством , часто записывают .

Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном.

Собственное подмножество[править | править вики-текст]

Любое множество является своим подмножеством. Если мы хотим исключить из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество является собственным подмножеством множества , если и .

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством и .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множества являются подмножествами множества
  • Множества являются подмножествами множества
  • Пусть , тогда .
  • Пусть . Тогда .

Свойства[править | править вики-текст]

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[1].

  • Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
    • Отношение подмножества рефлексивно:
    • Отношение подмножества антисимметрично:
    • Отношение подмножества транзитивно:
  • Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
  • Для любых двух множеств и следующие утверждения эквивалентны:

Подмножества конечных множеств[править | править вики-текст]

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

Литература[править | править вики-текст]

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «подмножество»