Подмножество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Определение[править | править код]

Множество называется подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежат [1]. Формальное определение:

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

« является подмножеством (нестрогим)» обозначается « является строгим подмножеством » обозначается Примечание
Символ является аналогом , то есть в случае допускается равенство множеств;

символ является аналогом , то есть в случае в есть элементы, которых нет в .

Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным».

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество называется надмно́жеством множества , если является подмножеством множества .

То, что является надмножеством множества , записывают , то есть

Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном.

Множества и называются равными , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть и .[2]

Собственное и несобственное подмножество[править | править код]

Любое множество среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными[3].

То есть, если мы хотим исключить само и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

множество является собственным подмножеством множества , только если и , .

Зарубежная литература[править | править код]

В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными, а собственные — нетривиальными, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B», то есть здесь понятие «собственное подмножество» уже, наоборот, включает пустое множество.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством (proper subset) и .

Примеры[править | править код]

  • Множества являются подмножествами множества
  • Множества являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
  • Множества являются подмножествами множества
  • Пусть Тогда
  • Пусть . Тогда а также (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A).

Свойства[править | править код]

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[4].

  • Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
    • Отношение подмножества рефлексивно:
    • Отношение подмножества антисимметрично:
    • Отношение подмножества транзитивно:
  • Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
  • Для любых трёх множеств и таких, что все из утверждений:
являются равносильными.[5]

Подмножества конечных множеств[править | править код]

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся таких подмножеств.

Примечания[править | править код]

  1. Биркгоф, 1976, с. 10.
  2. Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11
  3. Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465
  4. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  5. Келли Дж. Общая топология. — М., Наука, 1981. — с. 16

Литература[править | править код]

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
  • Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.

Ссылки[править | править код]