Подпространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Подпростра́нствопонятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — непустое подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и др.), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Примеры[править | править код]

  • Непустое подмножество векторного (линейного) пространства над полем является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов сумма и для всякого вектора и любого вектор . В частности, подпространство обязательно содержит нулевой вектор пространства (он также является нулевым вектором пространства ).
  • Векторное подпространство называется собственным подпространством, если и содержит хотя бы один ненулевой вектор.
  • Векторное подпространство называется инвариантным подпространством линейного отображения , если , то есть для любого вектора . Если собственное значение отображения , то все векторы , удовлетворяющие соотношению (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению .
  • Подпространство метрического пространства с метрикой обладает индуцированной метрикой , которая определена формулой для любых [1].
  • Подпространство топологического пространства с топологией обладает индуцированной топологией , открытыми множествами в которой являются множества , где — всевозможные открытые множества в топологии [2].
  • Пусть проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства , и — векторное подпространство. Тогда проективное пространство является проективным подпространством[3].

Примечания[править | править код]

  1. Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
  2. Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.