Показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а  — показателем степени.

График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция[править | править код]

Определение показательной функции[править | править код]

Пусть  — неотрицательное вещественное число,  — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

  • Если , то .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
    • Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где  — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

Свойства[править | править код]

  • / =

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Разложение в ряд:

.

Асимптотика[править | править код]

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Потенцирование и антилогарифм[править | править код]

Изображение функции нахождения десятичного и натурального антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма[1], то есть решение уравнения . Из определения логарифма вытекает, что , таким образом, возведение в степень может быть названо другими словами «потенцированием по основанию », или вычислением показательной функции от .

Антилогарифм[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ) равен числу [2][3]:

Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах[4], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию или 10 называется натуральным[5] или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом[3].

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: и .

Комплексная функция[править | править код]

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
  2. 1 2 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
  3. 1 2 Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
  4. Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.
  5. Финансовые инструменты - Коллектив авторов - Google Книги

Комментарии[править | править код]

  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).

Литература[править | править код]