Показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а  — показателем степени.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция[править | править вики-текст]

Определение показательной функции[править | править вики-текст]

Пусть  — неотрицательное вещественное число,  — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

  • Если , то .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
    • Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где  — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

Свойства[править | править вики-текст]

График экспоненты

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Разложение в ряд:

.

Асимптотика[править | править вики-текст]

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция[править | править вики-текст]

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]