Показатель числа по модулю

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа по модулю называется наименьшее положительное целое число , такое, что[1][2]

Показатель определен только для чисел , взаимно простых с модулем , то есть для элементов группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю . При этом, если показатель числа по модулю определен, то он является делителем значения функции Эйлера (следствие теоремы Лагранжа) и значения функции Кармайкла .

Чтобы показать зависимость показателя от и , его также обозначают , а если фиксировано, то просто .

Свойства[править | править вики-текст]

  • , поэтому можно считать, что показатель задан на классе вычетов по модулю .
  • . В частности, и , где  — функция Кармайкла, а  — функция Эйлера.
  • ; если , то
  • Если  — простое число и , то  — все решения сравнения .
  • Если  — простое число, то  — образующая группы .
  • Если  — количество классов вычетов с показателем , то . А для простых модулей даже .
  • Если  — простое число, то группа вычетов циклична и потому, если , где  — образующая, , а  — взаимно просто с , то . В общем случае для произвольного модуля можно вывести аналогичную формулу, пользуясь теоремой о структуре мультипликативной группы вычетов .

Пример[править | править вики-текст]

Так как , но , , , то порядок числа 2 по модулю 15 равен 4.

Вычисление[править | править вики-текст]

Если известно разложение модуля на простые множители и известно разложение чисел на простые множители, то показатель заданного числа может быть найден за полиномиальное время от . Для вычисления достаточно найти разложение на множители функции Кармайкла и вычислить все для всех . Поскольку число делителей ограничено многочленом от , а возведение в степень по модулю происходит за полиномиальное время, то алгоритм поиска будет полиномиальным.

Приложения[править | править вики-текст]

Характеры Дирихле[править | править вики-текст]

Характер Дирихле по модулю определяется обязательными соотношениями и . Чтобы эти соотношения выполнялись, необходимо, чтобы был равен какому-либо комплексному корню из единицы степени .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]