Полиномы Белла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида

B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})=\sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}
\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},

где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jnk+1 неотрицательных целых чисел таким, что

j_1+j_2+\cdots = k и j_1+2j_2+3j_3+\cdots=n.

Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла (англ.).

Полные полиномы Белла[править | править вики-текст]

Сумма

B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})

иногда называется n-ым полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bnk, определенные выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.

Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\
-1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\
0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\  \\
0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots  & \cdots & x_{n-3} \\  \\
0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1  \end{bmatrix}.

Комбинаторная интерпретация[править | править вики-текст]

Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.

Примеры[править | править вики-текст]

Для n = 6, k = 2 мы имеем

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2

потому что есть

  • 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
  • 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
  • 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,
60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and
15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Свойства[править | править вики-текст]

  • B_{n,k}(1!,2!,\dots,(n-k+1)!) = \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1} (n-k)!

Связь с числами Стирлинга и Белла[править | править вики-текст]

Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:

B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.

Сумма

\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}

есть n-ое число Белла (количество разбиений множества мощности n).

Тождество свертки[править | править вики-текст]

Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

(x \diamondsuit y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что x_n^{k\diamondsuit}\, есть n-ый член последовательности

\displaystyle\underbrace{x\diamondsuit\cdots\diamondsuit x}_{k\ \mathrm{factors}}.\,

Тогда

B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_{n}^{k\diamondsuit} \over k!}.\,

Для примера вычислим  B_{4,3}(x_1,x_2) . Так как

 x = ( x_1,\ x_2, \ x_3, \ x_4, \ldots ),
 x \diamondsuit x = ( 0,\  2 x_1^2 \ ,\  6 x_1 x_2 \ , \  8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \ldots ),
 x \diamondsuit x \diamondsuit x = (  0,\ 0, \ 6 x_1^3, \ 36 x_1^2 x_2, \ldots ),

то

 B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \diamondsuit x \diamondsuit x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2.

Применения[править | править вики-текст]

Формула Фаа-ди-Бруно[править | править вики-текст]

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad и \qquad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n,

то

g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n.

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.

Моменты и кумулянты[править | править вики-текст]

Сумма

B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})

есть n-ый момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны 1, …, κn. Другими словами, n-ый момент равен значению n-ого полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа[править | править вики-текст]

Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим

p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y) для n ≥ 0.
Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

h(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n

как формальный степенной ряд, то для всех n,

h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).

Программное обеспечение[править | править вики-текст]

  • Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщенные полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY.


Источники[править | править вики-текст]