Полиномы Белла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида

где сумма берётся по всем последовательностям j1, j2, j3, ..., jnk+1 неотрицательных целых чисел таким, что

и

Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла (англ.).

Полные полиномы Белла[править | править вики-текст]

Сумма

иногда называется n-ым полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы Bnk, определенные выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.

Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:

Комбинаторная интерпретация[править | править вики-текст]

Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j1 раз, 2 появляется j2 раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.

Примеры[править | править вики-текст]

Для n = 6, k = 2 мы имеем

потому что есть

  • 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
  • 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
  • 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,
60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and
15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Свойства[править | править вики-текст]

Связь с числами Стирлинга и Белла[править | править вики-текст]

Значение полинома Белла Bn,k(x1, x2, …), где все xi равны 1 является числом Стирлинга второго рода:

Сумма

есть n-ое число Белла (количество разбиений множества мощности n).

Тождество свертки[править | править вики-текст]

Для последовательности xn, yn, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что есть n-ый член последовательности

Тогда

Для примера вычислим . Так как

то

Применения[править | править вики-текст]

Формула Фаа-ди-Бруно[править | править вики-текст]

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

и

то

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

Моменты и кумулянты[править | править вики-текст]

Сумма

есть n-ый момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны 1, …, κn. Другими словами, n-ый момент равен значению n-ого полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа[править | править вики-текст]

Для заданной последовательности чисел a1, a2, a3, … положим

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

для n ≥ 0.
Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

как формальный степенной ряд, то для всех n,

Программное обеспечение[править | править вики-текст]

  • Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщенные полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY.


Источники[править | править вики-текст]