Полиномы Цернике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Графики значений в единичном круге.

Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике[1].

Определения[править | править вики-текст]

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике. Чётные полиномы определены как

,

а нечётные как

,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что nm, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, . Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. .

Радиальные полиномы определяются как

для чётных значений nm , и тождественно равны нулю для нечётных nm .

Другие представления[править | править вики-текст]

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях суть целые числа:

.

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

для четных значений nm.

Свойства[править | править вики-текст]

Ортогональность[править | править вики-текст]

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

где параметр (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если , и равным 1, если . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

где якобиан полярной системы координат, а оба числа и — четные.

Примеры[править | править вики-текст]

Радиальные полиномы[править | править вики-текст]

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов.


Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Zernike, F. (1934). «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode». Physica I 8: 689-704.