Интерполяционные формулы Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Полином Ньютона»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Формулы[править | править код]

Пусть заданы некоторые попарно различные точки , называемые также узлами интерполяции, и известны значения некоторой функции в этих точках.

Случай неравноотстоящих узлов[править | править код]

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле

где разделённая разность порядка .

Случай равноотстоящих узлов[править | править код]

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии , то есть , , то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид

где , а выражения вида  — конечные разности.

Во втором случае формула принимает вид

где .

При справедлива формула:

где  — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Остаточный член[править | править код]

Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа. Поэтому остаточные члены этих формул совпадают. Однако остаточный член формулы Ньютона можно записать в другой форме:

  • для случая неравноотстоящих узлов:
Если функция имеет производную порядка , то где — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.
  • для случая равноотстоящих узлов:
для интерполирования вперёд:
для интерполирования назад:

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]