Вариация функции

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в $\mathbb {R} ^{n}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в $\mathbb {R} ^{n}$ этой функцией.

Определение

Пусть $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции $f$ на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:

$V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\|f(x_{k+1})-f(x_{k})\|,$

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям $P$ отрезка $[a,\;b]$ длин ломаных в $\mathbb {R} ^{n}$, концы которых соответствуют значениям $f$ в точках разбиения.

Связанные определения

• Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V[a,\;b]$ или просто $V$.
  • В таком случае определена функция $v(x)=V_{a}^{x}f$, называющаяся функцией полной вариации для $f$.
• Положительная вариация вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:

  $P_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$

• Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

  $N_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}-\inf \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\min\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_{k})\}.$

• Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

  $V_{a}^{b}f=P_{a}^{b}f+N_{a}^{b}f.$

Свойства функций ограниченной вариации

• Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из $V$ будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу $V$), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке $[a,\;b]$.
• Если $a<x\leqslant y<b$, а $f\in V[a,\;b]$, то $V_{a}^{x}f+V_{x}^{y}f=V_{a}^{y}f$.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ справа и принадлежит $V[a,\;b]$, то $\lim \limits _{x\to a{+}}v(x)=0$.
• Функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a,\;b]$, является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на $[a,\;b]$ функции (разложение Жордана).
• Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
• Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом.

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}$ принадлежит классу $C^{1}$, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a,\;b]$, то $f$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

$\int \limits _{a}^{b}\|f^{\prime }(x)\|\,dx,$

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом.

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье $2\pi$-периодических функций класса $V[0,\;2\pi ]$ сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

• Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

• В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:
  • вариация Фреше,
  • плоская вариация Тонелли.

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс $V_{\Phi }[a,\;b]$, который определяется следующим образом:

${V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{a\leqslant x\leqslant b}\sum \limits _{k=1}^{n}\Phi (|f(x_{k})-f(x_{k-1})|),$

где $\Phi (x)$ ($x\geqslant 0,\;\Phi (0)=0$) — положительная при $x>0$ монотонно возрастающая непрерывная функция;

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$ — произвольное разбиение отрезка $[a,\;b]$.

Величина ${V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f$ называется $\Phi$-вариацией функции $f(x)$ на отрезке $[a,\;b]$.

Если ${V_{\!\Phi }}_{a}^{b}f<\infty$, то функция $f(x)$ обладает ограниченной $\Phi$-вариацией на отрезке $[a,\;b]$. Класс всех таких функций обозначается через $V_{\Phi }[a,\;b]$ или просто как $V_{\Phi }$. Определение класса $V_{\Phi }[a,\;b]$ предложено Л. Янгом (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом $\Phi (x)=x$. Если $\Phi (x)=x^{p}$ при $1<p<\infty$, то получаются классы $V_{p}$ Н. Винера (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции $\Phi _{1}(x)$ и $\Phi _{2}(x)$ такие, что

$\varlimsup _{x\to 0^{+}}{\frac {\Phi _{1}(x)}{\Phi _{2}(x)}}<\infty ,$

то для их $\Phi$-вариаций справедливо отношение:

$V_{\Phi _{2}}[a,\;b]\subset V_{\Phi _{1}}[a,\;b].$

В частности,

$V_{x^{p}}\subset V_{x^{q}}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp(-x^{-\beta })}$

при $1\leqslant p<q<\infty ,\;0<\alpha <\beta <\infty$.

См. также

• Вариация функционала
• Вариационное исчисление
• Вариационный ряд
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Вариация Фреше
• Вариация Харди
• Волатильность
• Функция Вейерштрасса

Литература

• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.