Полное метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полное метрическое пространствометрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение[править | править вики-текст]

Всякое метрическое пространство можно вложить в полное пространство таким образом, что метрика продолжает метрику , а подпространство всюду плотно в . Такое пространство называется пополнением и обычно обозначается .

Построение[править | править вики-текст]

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в можно ввести отношение эквивалентности

Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого пространство можно покрыть конечным числом шаров радиуса .
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
  • Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
    • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры[править | править вики-текст]

Полные метрические пространства[править | править вики-текст]

  • Множество вещественных (действительных) чисел полно в стандартной метрике .
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
  • Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства[править | править вики-текст]

  • Рациональные числа со стандартным расстоянием являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел .
  • Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел .
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Если имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В.А. Математический анализ. — Т. 2. IX, §5.