Полнократное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде , где и  — положительные целые числа.

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000[1]:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений[править | править вики-текст]

Если , то любое простое в разложении входит дважды, а входящее в  — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть  — полнократное число с разложением

,

где каждое . Определим равным трём, если нечётно, и нулю в противном случае, и определим . Тогда все значения являются неотрицательными чётными целыми, и все значения либо равны нулю, либо трём, так что:

даёт искомое представление , как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа можно взять в качестве произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку  — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что является целым. Теперь каждый простой множитель имеет чётную степень, так что  — полный квадрат, обозначим его как ; и получается . Например:

,
,
,
.

Математические свойства[править | править вики-текст]

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

,

где  — обходит все простые числа,  — дзета-функция Римана, и  — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть означает количество полнократных чисел в интервале . Тогда пропорционально квадратному корню из . Точнее:

[2].

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел[2]; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, для любого куба . Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел вида , в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел[править | править вики-текст]

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

.

Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: . Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).

Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5473 − 4632,

и Макдэниел[3] показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном[4].

Обобщение[править | править вики-текст]

-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее .

, , являются -полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если являются -полнократными в арифметической прогрессии с разностью , то:

являются -полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для - полнократных чисел имеет место:

.

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины - полнократных чисел, суммы которых тоже -полнократны. Нитадж[5] показал, что имеется бесконечно много решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон[6] сконструировал бесконечное семейство решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

,
,

является решением уравнения . Возможно сконструировать другое решение, положив и убирая общий делитель.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. последовательность A001694 в OEIS
  2. 1 2 Golomb, 1970.
  3. McDaniel, 1982.
  4. Heath-Brown, 1988.
  5. Nitaj, 1995.
  6. Cohn, 1995.

Литература[править | править вики-текст]

  • Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вып. 221. — С. 439—440. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
  • Pál Erdős, György Szekeres Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
  • Solomon W. Golomb Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — DOI:10.2307/2317020.
  • Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
  • Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston: Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
  • Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
  • Wayne L. McDaniel Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20.
  • Abderrahmane Nitaj On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — DOI:10.1112/blms/27.4.317.

Ссылки[править | править вики-текст]