Положительный оператор (гильбертово пространство)

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор $A$ такой, что $(Ax,x)\geq 0$ для любого $x$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение $A\geq 0$. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут $A>0$, если оператор $A$ — положительный, и $A\geq 0$, если $A$ — положительный или нулевой.

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси $[0,\infty )$, причём это необходимое и достаточное условие. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором.

Свойства

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор $A\geq 0$ и вещественное число $\alpha \geq 0$, то $\alpha A\geq 0$.
• Если $A\geq 0$ и обратный оператор $A^{-1}$ существует, то $A^{-1}\geq 0$.
• $A^{*}A\geq 0,\,AA^{*}\geq 0$ для любого линейного оператора $A$. В частности, $A^{2}\geq 0$ для любого самосопряжённого оператора $A$. Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования.
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор.
• Для положительного оператора $A$ и любых элементов $x,y$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

$|(Ax,y)|^{2}\leq (Ax,x)(Ay,y)$.

Квадратный корень

У каждого ограниченного положительного оператора $A$ существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор $B$, что $B^{2}=A$. Если оператор $A$ обратим, то $B$ тоже обратим. Квадратный корень $B$ перестановочен с любым оператором, перестановочным с $A$.

Полярное разложение

Основная статья: Полярное разложение

Любой ограниченный линейный оператор $T$ в гильбертовом пространстве обладает разложением $T=UP$, где $P$ — положительный оператор, $U$ — частичная изометрия. Если $T$ — нормальный оператор, то оператор $U$ в полярном разложении унитарный.

Отношение порядка

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: $A\geq B$ или $B\leq A$, если оператор $A-B$ — положительный, иначе говоря, $(Ax,x)\geq (Bx,x)$ для любого $x$ из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если $A\geq B$ и $C\geq D$, то $A+C\geq B+D$.
• Если $A\geq B$ и $B\geq C$, то $A\geq C$.
• Если $A\geq B$ и $c>0$, то $cA\geq cB$.
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору.

Полуограниченный оператор

Симметричный оператор $S$ называется полуограниченным снизу, если существует действительное число $c$ такое, что

$(Sx,x)\geq c(x,x)$

для любого $x$ из области определения оператора $S$; наибольшее из всех значений $c$, для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора $S$. Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань.

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор $P$ посредством одной из следующих формул:

$S=P+cI,\quad S=-P+cI,$

где $I$ — единичный оператор.

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор $S$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора $A$, причём оператор $A$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и $S$.

Случай конечномерного пространства

Симметрический оператор $S$ (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве $R$ называется неотрицательным, если $(Sx,x)\geq 0$ для любого $x\in R$. В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$ называется неотрицательной, а матрица оператора $S$ — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор $S$ называется положительно определённым, если для любого вектора $x\neq 0$ из $R$ $(Sx,x)>0$. В этом случае квадратичная форма $(Sx,x)$ и матрица оператора $S$ называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра.

Пример

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

$Au(x)=-(p(x)u'(x))'+q(x)u(x),$

где

$p(x)\geq 0,\quad q(x)\geq q_{0},\quad (0\leq x\leq 1),$

если его рассматривать в пространстве $L_{2}(0,1)$, отнеся к области определения функции $u(x)$, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

$u(0)=0,\quad u'(1)+hu(1)=0,$

где $h\geq 0$ — некоторая постоянная; функции $p(x),p'(x),q(x)$ также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

$(Au,u)=hp(1)|u(1)|^{2}+\int \limits _{0}^{1}p(x)|u'(x)|^{2}dx+\int \limits _{0}^{1}q(x)|u(x)|^{2}dx\geq \int \limits _{0}^{1}q_{0}|u(x)|^{2}dx=q_{0}(u,u).$.

Если $q_{0}\geq 0$, то оператор положительный.

См. также

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 444 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.