Положительный оператор (гильбертово пространство)
Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор такой, что для любого из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение [1]. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут , если оператор — положительный, и , если — положительный или нулевой[2].
Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси , причём это необходимое и достаточное условие[1]. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором[3][4].
Свойства
[править | править код]Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.
- Если оператор и вещественное число , то .
- Если и обратный оператор существует, то .
- для любого линейного оператора . В частности, для любого самосопряжённого оператора . Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования[2].
- Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор[5].
- Для положительного оператора и любых элементов гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:
- [6].
Квадратный корень
[править | править код]У каждого ограниченного положительного оператора существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор , что . Если оператор обратим, то тоже обратим. Квадратный корень перестановочен с любым оператором, перестановочным с [7][8].
Полярное разложение
[править | править код]Любой ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением , где — положительный оператор, — частичная изометрия. Если — нормальный оператор, то оператор в полярном разложении унитарный.
Отношение порядка
[править | править код]На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: или , если оператор — положительный, иначе говоря, для любого из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.
- Если и , то .
- Если и , то .
- Если и , то .
- Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору[2][6].
Полуограниченный оператор
[править | править код]Симметричный оператор называется полуограниченным снизу, если существует действительное число такое, что
для любого из области определения оператора ; наибольшее из всех значений , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань[9].
Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор посредством одной из следующих формул:
где — единичный оператор[10].
Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора , причём оператор будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и [11].
Случай конечномерного пространства
[править | править код]Симметрический оператор (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве называется неотрицательным, если для любого . В этом случае квадратичная форма называется неотрицательной, а матрица оператора — неотрицательно определённой.
Симметрический оператор называется положительно определённым, если для любого вектора из . В этом случае квадратичная форма и матрица оператора называются положительно определёнными.
Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра[12].
Пример
[править | править код]Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля
где
если его рассматривать в пространстве , отнеся к области определения функции , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям
где — некоторая постоянная; функции также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что
- .
Если , то оператор положительный[11].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Рудин У. Функциональный анализ, 1975, п.12.32.
- ↑ 1 2 3 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 317.
- ↑ Шульман В. С., Ломоносов В. И. Положительный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ↑ Строго говоря, в случае неограниченного оператора неравенство в определении берётся для всех из области определения симметричного оператора , которая плотна во всём гильбертовом пространстве.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 318.
- ↑ 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 104.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 320.
- ↑ Рудин У. Функциональный анализ, 1975, п.12.33.
- ↑ Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 1966.
- ↑ Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 122.
- ↑ 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 124.
- ↑ Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
Литература
[править | править код]- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
- Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 444 с.
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
- Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.