Полугруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив полученный моноид обычно обозначается как .

Примеры полугрупп: положительные целые числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Структура полугруппы[править | править вики-текст]

Если , то принято обозначать .

Подмножество полугруппы называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из их произведение также принадлежало .

Если подмножество непусто и (соответственно, ) лежит в , то называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

.

Для степени элемента справедливо соотношение .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов и определено правое и левое частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого ).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение из полугруппы в полугруппу называется гомоморфизмом, если . Две полугруппы и называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм .

Отношения Грина[править | править вики-текст]

В 1951 году Джеймс Грин (англ. James Alexander Green) ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе определяются следующими формулами:

Из определения непосредственно следует, что  — правая конгруэнция, а  — левая конгруэнция. Также известно, что . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы и R-эквивалентны, , такие, что , и  — соответствующие правые сдвиги, то  — взаимно обратные биекции на и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.