Полунепрерывная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
полунепрерывная сверху функция.
полунепрерывная снизу функция.

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.

Определения[править | править вики-текст]

  • Функция называется полунепрерывной снизу (сверху) на , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого
  • Пусть суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма также полунепрерывна снизу (сверху).
  • Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций таких, что Тогда если существует предел то полунепрерывна снизу (сверху).
  • Если и есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
        
    то существует непрерывная функция , такая что
        
  • (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция достигает на своего минимума (максимума).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Целая часть является полунепрерывной сверху функцией;
  • Дробная часть полунепрерывная снизу.
  • Индикатор произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой , множества является полунепрерывной снизу функцией.
  • Индикатор произвольного замкнутого множества является полунепрерывной сверху функцией.

Литература[править | править вики-текст]

  • Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
  • Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.