Полурешётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полурешётка (англ. semilattice, до 1960-х годов также использовался термин полуструктура) в общей алгебре — полугруппа, бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна.

С точки зрения теоретико-множественного подхода, полурёшетка определяется как частично упорядоченное множество, для каждой пары элементов которого определена точная верхняя грань (верхняя полурешётка) или точная нижняя грань (нижняя полурешётка). Множество, являющееся одновременно верхней и нижней полурешёткой является решёткой.

Алгебраические определения[править | править вики-текст]

Полурешётка аксиоматизируется как алгебра, снабжённая бинарной операцией следующими тождествами:

  1. (идемпотентность);
  2. (ассоциативность);
  3. (коммутативность).

Если алгебры и  — полурешётки и их операции связаны соотношениями (называемым законами поглощения):

  • ,
  • ,

то алгебра является решёткой. В таком контексте называют верхней полурешёткой, а  — нижней. В верхних полурешётках вводится верхний элемент такой, что для всех элементов , в нижних — нижний элемент такой, что , полурешётки, в которых существуют такие элементы, называют ограниченными.

Частичный порядок в полурешётке[править | править вики-текст]

Для и из в полурешётке можно определить частичный порядок таким образом: тогда и только тогда, когда . Поскольку бинарная операция в полурешётке идемпотентна, коммутативна и ассоциативна, то определённый таким образом порядок является рефлексивным (), антисимметричным ( и транзитивным ()[1].

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Альфред В. Ахо, Моника С. Лам, Рави Сети, Джеффри Д. Ульман. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты = Compilers: Principles, Techniques, and Tools. — Издательский дом "Вильямс", 2008. — ISBN 0-321-48681-1.
  • Салий В. Н., Скорняков Л. А.  Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Introduction to Lattices and Order. — second. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-78451-4.
  • Vickers Steven. Topology via Logic. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0-521-36062-5.

Ссылки[править | править вики-текст]