Полюс и поляра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M1 и M2 пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.[1] [2]

Поляра является прямой линией. Точку P называют полюсом поляры. Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества её прямых — поляритет или полярное преобразование.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если точка P лежит «вне» линии 2-го порядка (то есть через точку P можно провести две касательные к линии), то поляра проходит через точки касания данной линии с прямыми, проведёнными через точку P.
  • Если точка P лежит на кривой 2-го порядка, то поляра является прямой, касательной к данной кривой в этой точке.
  • Поляра точки P проходит через её инверсию относительно соответствующей кривой. Более того, если поляра пересекает эту кривую в двух точках, то инверсия является серединой хорды с концами в этих точках.
  • Поляры всех точек, лежащих на прямой, проходящих через центр соответствующей кривой, параллельны между собой. В случае параболы центр считается бесконечно удалённым, прямая должна быть параллельна её оси.
  • Если поляра точки P проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р.

Трилинейные поляры треугольника[править | править вики-текст]

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки.

  • Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра
  • Трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис.
  • Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)[источник не указан 188 дней].
  • Чевианный треугольник - треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.

История[править | править вики-текст]

Термин  поляра ввел Жергонн

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогично определяется поляра (полярная плоскость) некоторой точки относительно невырожденной поверхности 2-го порядка.

Понятие поляры относительно линии второго порядка обобщается на линии n-го порядка. При этом заданной точке плоскости ставится в соответствие n-1 поляр относительно линии n-го порядка. Первая из этих поляр является линией порядка n-1, вторая, являющаяся полярой заданной точки относительно первой поляры, имеет порядок n-2 и т. д. и, наконец, (n-1)-я поляра является прямой линией.


См.также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978;
  • Постников М. М., Аналитическая геометрия, М.,,1973

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Савелов А.А. Замечательные кривые. Томск: Кр. знамя, 1938.
  2. Pole and polar (англ. яз.). Полюс и поляра// https://en.wikipedia.org/wiki/Pole_and_polar.
  3. Kimberling, Clark (June 1994). «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle». Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. DOI:10.2307/2690608.
  4. Kimberling Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — P. 285.