Полюс (комплексный анализ)

Модуль гамма-функции $\Gamma (z)$. Слева ($\operatorname {Re} z<0$) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа ($\operatorname {Re} z>0$) полюсов нет, функция всюду конечна.

Полюс в комплексном анализе — изолированная особая точка $z_{0}$ функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, такая, что существует предел:

$\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$.

Точка $z_{0}$ является полюсом тогда и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_{0}$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть:

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$,

где $P(z)$ — правильная часть ряда Лорана. Число $n$ в этом разложении называется порядком полюса $z_{0}$; если $n=1$, то полюс называется простым.

Точка $z_{0}$ является полюсом порядка $n$ тогда и только тогда, когда $\lim _{z\to z_{0}}f(z)(z-z_{0})^{n-1}=\infty$, а $\lim _{z\to z_{0}}f(z)(z-z_{0})^{n}\neq \infty$. Кроме того, $z_{0}$ является полюсом порядка $n$ тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ нулем порядка $n$.

Другие типы изолированных особых точек — устранимая особая точка (предел конечен) и существенно особая точка (предел не существует).

Литература

• Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1969.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.