Порождающее множество группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Порождающее множество группы G (или генератор группы G) — это подмножество S в G, такое, что каждый элемент G может быть записан как произведение конечного числа элементов S и их обратных.

Более формально, если S — подмножество группы G, тогда <S>, — подгруппа, порождённая S, — это наименьшая подгруппа в G, содержащая все элементы S, то есть пересечение всех подгрупп, содержащих S. Эквивалентно, <S> — это подгруппа всех элементов G, которые могут быть представлены как конечные произведения элементов S и их обратных.

Если G = <S>, говорят, что S порождает G, а элементы S называются порождающими элементами (группы). Если S пусто, то по определению считается <S> = {e}.

Когда S содержит только один элемент x, обычно пишут <x>. В таком случае <x> — циклическая подгруппа степеней x в G. Говорят, что элемент x группы G порождает G, если <x> = G. В случае конечных групп это эквивалентно тому, что порядок x равен количеству элементов в G.

Свободная группа[править | править исходный текст]

Наиболее общая группа, порождённая множеством S — это группа, свободно порождённая S. Каждая группа, порождённая S, изоморфна факторгруппе такой группы — свойство, используемое для задания групп.

См. также[править | править исходный текст]

Внешние ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.