Порождающее множество группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Порождающее множество группы (или множество образующих[1], или система образующих) — это подмножество в , такое, что каждый элемент может быть записан как произведение конечного числа элементов и их обратных.

Определение[править | править код]

Пусть — подмножество группы . Определим , — подгруппу, порождённую — как наименьшую подгруппу в , содержащая все элементы , то есть пересечение всех подгрупп, содержащих . Эквивалентно, — это подгруппа всех элементов , которые могут быть представлены как конечные произведения элементов и их обратных.

Если , то говорят, что порождает группу . При этом элементы называются образующими группы.

Замечания[править | править код]

  • Заметим, что если пусто, то по определению является тривиальной группой, состоящей из нейтрального элемента.
  • Когда содержит только один элемент , обычно пишут вместо . В таком случае циклическая подгруппа степеней в .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Ленг, 1968, с. 23.

Литература[править | править код]

  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.