Порядок величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Порядок величины — класс эквивалентности \mathcal{C}_n величин (или шкал) \mathcal{C}_n=\lbrace{}x_n\rbrace, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение r=\frac{x_n}{x_{n-1}} к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности \mathcal{C}_n а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса n при условии что некоторый класс \mathcal{C}_0 был задан или подразумевается).

Порядок числа[править | править исходный текст]

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию b, чаще всего принимают r=b и 1\in\mathcal{C}_1, b\in\mathcal{C}_2. При этом n совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

  • \mathcal{C}_1\supset\lbrace{}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace
  • \mathcal{C}_2\supset\lbrace{}10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\rbrace
  • \mathcal{C}_3\supset\lbrace{}100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900\rbrace

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

  • порядки чисел по основанию b=10,
  • порядки чисел по основанию b=2 и
  • порядки чисел по основанию b=e.

Порядок чисел в естественном языке[править | править исходный текст]

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в 10^n раз больше, где n — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».

Порядок чисел и логарифмическая функция[править | править исходный текст]

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам \mathcal{C}_{n},\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{C}_{n+2},\ldots,\mathcal{C}_{n+d} могут быть записаны как x, rx, r^2x,\ldots,r^rx, где x\in\mathcal{C}_{n} — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то \left|\log_r\frac{x_1}{x_2}\right| < 1.

Разность порядков[править | править исходный текст]

Если два числа x_1 и x_2 принадлежат порядкам x_1\in\mathcal{C}_{n_1} и x_2\in\mathcal{C}_{n_2} в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение d=d(x_1, x_2)=n_2-n_1 иногда называют разностью порядков этих этих чисел.

Для двух чисел x_1 и x_2 разность их порядков может быть найдена как d = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor при x_2 \geq x_1.

В случае x_2 \leq x_1 разность порядков иногда берут с отрицательным знаком d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1).

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков[править | править исходный текст]

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение d = \log_r\frac{x_2}{x_1}.

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа x_1 и x_2 различаются не более чем на пол порядка» то есть \left|\log_r\frac{x_2}{x_1}\right|\leq \frac{1}{2} или \frac{1}{\sqrt{r}}x_1\leq x_2\leq \sqrt{r}x_1.