Порядок группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается или .

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы равен порядку любой её подгруппы , умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы с порядком её центра и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

,

где — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента , и уравнение превращается в .

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы является степенью целого простого числа в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью [1].

Примечания[править | править код]

  1. Keith Conrad Consequences of Cauchy's Theorem.

Литература[править | править код]

  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А.  Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.