Порядок элемента

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое $m$, такое что $m$-кратное групповое умножение данного элемента $g\in G$ на себя даёт нейтральный элемент:

$\underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e$.

Иными словами, $m$ — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого $m$ не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что $g$ имеет бесконечный порядок. Обозначается как $\mathrm {ord} (g)$ или $|g|$.

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Основные свойства

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в $G$ совпадает со своим обратным (то есть $g^{2}=e$), то $\mathrm {ord} (a)=2$ и $G$ является абелевой, поскольку $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа $\mathbb {Z} _{6}$ целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

$2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}$.

Для любого целого $k$ тождество $g^{k}=e$ выполнено тогда и только тогда, когда $\mathrm {ord} (g)$ делит $k$.

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если $g$ имеет конечный порядок, то порядок $g^{k}$ равен порядку $g$, делённому на наибольший общий делитель чисел $\mathrm {ord} (g)$ и $k$. Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента ($\mathrm {ord} (g)=\mathrm {ord} (g^{-1})$).

Связь с порядком группы

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе $S_{3}$, состоящей из шести элементов, нейтральный элемент $e$ имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из $e$ — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число $p$ делит порядок группы $G$, то существует элемент $g\in G$, для которого $\mathrm {ord} (g)=p$. Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

Порядок произведения

В любой группе $\mathrm {ord} (ab)=\mathrm {ord} (ba)$.

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения $ab$ с порядками сомножителей $a$ и $b$. Возможен случай, когда и $a$, и $b$ имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения $ab$ бесконечен, также возможно, что и $a$, и $b$ имеют бесконечный порядок, в то время как $\mathrm {ord} (ab)$ конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами $a(x)=2-x,b(x)=1-x$, тогда $ab(x)=x-1$. Пример второго случая — перестановки в той же группе $a(x)=x+1,b(x)=x-1$, произведение которых является нейтральным элементом (перестановка $ab(x)=\mathrm {id}$, оставляющая элементы на своих местах). Если $ab=ba$ то можно утверждать, что $\mathrm {ord} (ab)$ делит наименьшее общее кратное чисел $\mathrm {ord} (a)$ и $\mathrm {ord} (b)$. Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Подсчёт по порядку элементов

Для данной конечной группы $G$ порядка $n$, число элементов с порядком $d$ ($d$ — делитель $n$) кратно $\varphi (d)$, где $\varphi$ — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих $d$ и взаимно простых с ним. Например, в случае $S_{3}$ $\varphi (3)=2$, и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку $\varphi (2)=1$, и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как $d=6$, поскольку $\varphi (6)=2$, и в группе $S_{3}$ имеется нуль элементов порядка 6.

Связь с гомоморфизмами

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если $f:G\to H$ является гомоморфизмом, и $g\in G$ — элемент конечного порядка, то $\mathrm {ord} (f(g))$ делит $\mathrm {ord} (g)$. Если $f$ инъективно, то $\mathrm {ord} (f(g))=\mathrm {ord} (g)$. Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма $h:S_{3}\to \mathbb {Z} _{5}$, поскольку любое число, за исключением нуля, в $\mathbb {Z} _{5}$ имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов $S_{3}$.) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.

Литература

• Курош А.Г. Теория групп. — Москва: Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.