Последняя теорема Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре[1]; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф[2] спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом[3].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть K — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами r=a и r=b. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

r'=\varphi(r, \theta); \theta'=\psi(r, \theta),

удовлетворяющее следующим условиям:

  1. отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
  2. каждая граничная окружность переходит в себя: ~\varphi(a,\theta)=a, \varphi(b,\theta)=b;
  3. точки с r=a передвигаются против часовой стрелки, а точки с r=b — по часовой стрелке. Более точно, функция \psi непрерывна и \psi(a, \theta) > \theta и \psi(b, \theta) < \theta при любом \theta.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Poincare H., "Rend. circ. mat. Palermo", 1912, v. 33, p. 375—407
  2. Birkhoff G., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1913, V. 14, p. 14—22
  3. M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31.  (англ.)