Последовательность Аппеля

Последовательность Аппеля — последовательность многочленов $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$ удовлетворяющая тождеству:

${\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$,

в которой $p_{0}(x)$ — ненулевая константа.

Названа по имени Поля Эмиля Аппеля. Среди наиболее известных последовательностей Аппеля, помимо тривиального примера $\{x^{n}\}$, — многочлены Эрмита, многочлены Бернулли и многочлены Эйлера. Каждая последовательность Аппеля является последовательностью Шеффера, но в общем случае последовательности Шеффера не являются последовательностями Аппеля. Последовательности Аппеля имеют вероятностную интерпретацию как системы моментов.

Эквивалентные определения

Следующие условия на последовательностях многочленов эквивалентны определению последовательности Аппеля:

• для некоторой последовательности $\{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ скаляров с $c_{0}\neq 0$:

  $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k}$;

• для той же последовательности скаляров:

  $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n}$, где $D={\frac {d}{dx}}$;

• для $n=0,1,2,\ldots$:

  $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}$.

Рекурсивное задание

Если:

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n}$,

где последнее равенство определяет линейный оператор $S$ на пространстве многочленов от $x$, и:

$T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}$

— обратный оператор, где коэффициенты $a_{k}$ являются коэффициентами обратного формального степенного ряда, так что:

$Tp_{n}(x)=x^{n}\,$,

(в терминологии теневого исчисления часто используют формальный степенной ряд $T$ вместо самой последовательности Аппеля $p_{n}$), то имеет место:

$\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)$

используя обычное разложение ряда для логарифма $\ln(x)$ и обычное определение композиции формальных рядов. Откуда следует:

$p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)$.

(Это формальное дифференцирование ряда по дифференциальному оператору $D$ является примером производной Пинкерле).

В случае многочленов Эрмита это сводится к обычной рекурсивной формуле для этой последовательности.

Подгруппа многочленов Шеффера

Множество всех последовательностей Шеффера замкнуто относительно операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Пусть $\{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ и $\{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ — полиномиальные последовательности, заданные следующим образом:

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ и }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}$.

Тогда теневая композиция $p\circ q$ — это последовательность многочленов, $n$-й член которой имеет вид:

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leqslant \ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

(подстрочный индекс $n$ появляется в $p_{n}$, поскольку это $n$-й член этой последовательности, но не в $q$, поскольку $q$ здесь относится ко всей последовательности, а не к одному из её членов).

Относительно такой операции множество всех последовательностей Шеффера является неабелевой группой, но множество всех последовательностей Аппеля является абелевой подгруппой. Её абелевость следует из того, что каждая последовательность Аппеля имеет вид:

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n}$,

и что теневое произведение последовательностей Аппеля соответствует умножению этих формальных степенных рядов от операторной переменной $D$.

Литература

• Appell, Paul (1880). "Sur une classe de polynômes". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2e Série. 9: 119—144.
• Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "The Umbral Calculus". Advances in Mathematics. 27 (2): 95—188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7..
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). "Finite Operator Calculus". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 685—760. doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• Steven Roman. The Umbral Calculus. — Dover Publications.
• Theodore Seio Chihara. An Introduction to Orthogonal Polynomials. — Gordon and Breach, New York, 1978. — ISBN 978-0-677-04150-6.

Ссылки

• Аппеля последовательности — статья из Математической энциклопедии. Ю. А. Казьмин
• Appell Sequence at MathWorld