Постоянная Апери

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — $e^{\pi }$ и π

Постоя́нная Апери́  (англ. Apéry's constant, фр. Constante d'Apéry) — вещественное число, обозначаемое $\zeta (3)$ (иногда $\zeta _{3}$), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots$.

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

$\displaystyle \zeta (3)=$ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что $\zeta (3)$ является иррациональным числом (теорема Апери). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит $\zeta (3)$

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная $\zeta (3)$, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при $N\to \infty$ вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем ${\textstyle {N}}$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к $1/\zeta (3)$.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт $6\zeta (3)$ (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы $k$). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

$\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)$

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

$\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]$,

где в виде $e^{-\gamma \varepsilon }$ факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони ${\textstyle {\gamma }}$.

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма $\mathrm {Li} _{3}(z)$ (частный случай полилогарифма $\mathrm {Li} _{n}(z)$):

$\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)$,

$\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)$.

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

$\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)$,

$\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)$.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа ${\textstyle {H_{k}}}$:

$\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}$,

а также двукратная сумма:

$\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}$.

Для доказательства иррациональности $\zeta (3)$ Роже Апери пользовался представлением:

$\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}$,

где ${\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}$ — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер привёл представление в виде ряда (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

$\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]$,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}$, где ${\textstyle {B_{2k}}}$ — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя:

$\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}$

Саймон Плафф получил ряды другого типа

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,$

а также аналогичные представления для других постоянных $\zeta (2n+1)$.

Были также получены другие представления в виде рядов, включая:

$\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}$

$\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}$

$\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}$

$\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}$

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда, которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx$

или

$\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx$

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана, до достаточно сложных, таких, как

$\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad$ (Иоган Йенсен),

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad$ (Фритс Бёкерс),

$\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad$ (Ярослав Благушин).

Также связь постоянной Апери с производными гамма-функции (см. упр. 30.10.1):

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\frac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-[\Gamma '(1)]^{3}=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)\qquad$

позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма-функции.

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

$\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=$

$=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}\;$

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

$\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Она может быть преобразована к виду:

$\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}$

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

$\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}$

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери $\zeta (3)$ значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

Число известных значащих цифр постоянной Апери $\zeta (3)$

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1 000 000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	10 536 006	Patrick Demichel
1998, февраль	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998, март	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	128 000 026	Sebastian Wedeniwski
2001, сентябрь	200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	1 000 000 000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, январь	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, март	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2010, сентябрь	100 000 001 000	Alexander J. Yee
2013, сентябрь	200 000 001 000	Robert J. Setti
2015, август	250 000 000 000	Ron Watkins
2015, декабрь	400 000 000 000	Dipanjan Nag
2017, август	500 000 000 000	Ron Watkins
2019, май	1 000 000 000 000	Ian Cutress
2020, июль	1 200 000 000 000	Seungmin Kim

Другие значения дзета-функции в нечётных точках

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках $\zeta (2n+1)$ при $n>1$. В частности, в работах Вадима Зудилина и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел $\zeta (2n+1)$, а также что по крайней мере одно из чисел $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, или $\zeta (11)$ является иррациональным.

Ссылки

• Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• V. Ramaswami (1934), Notes on Riemann's ζ-function, J. London Math. Soc. Т. 9: 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165, <http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf> 
• Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.