Постоянная Апери

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иррациональные числа
γζ(3)ρ — 2 — 3 — 5 — φδs — α — e — π — δ

Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое ζ(3) (иногда ζ3), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots\; .

Численное значение постоянной Апери выражается бесконечной непериодической десятичной дробью[1]

\displaystyle\zeta(3) = 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 … (последовательность A002117 в OEIS)

Она была названа в честь математика греческо-французского происхождения Роже Апери (1916—1994), который в 1978 году доказал, что ζ(3) является иррациональным числом — результат, известный как теорема Апери (англ.)[2][3]. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер[4][5] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике[править | править вики-текст]

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит ζ(3)

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ζ(3), даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при N\to\infty вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем {\textstyle{N}} (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1/ζ(3).

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт 6ζ(3) (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы k). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями[править | править вики-текст]

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка

\zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1) \;

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора

 \Gamma(1+\varepsilon) 
= e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 
+O(\varepsilon^4) \right] \; ,

где в виде e^{-\gamma\varepsilon} факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера—Маскерони {\textstyle{\gamma}}.

Постоянная Апери также связана со значением трилогарифма Li3(z) (частный случай полилогарифма Lin(z)) при z=1,

 \zeta(3) = \mathrm{Li}_3(1) \frac{}{}.

Представления в виде рядов[править | править вики-текст]

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}
= \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right) \; ,
\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} 
= \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right) \; .

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа {\textstyle{H_k}}

\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}\; ,

а также двукратная сумма

\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)}\; .

Для доказательства иррациональности ζ(3) Роже Апери[2] пользовался представлением

\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}
= \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}} \; ,

где {\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}} — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер[6] привёл представление в виде ряда[7] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах)

\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right] \; ,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как {\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}}, где {\textstyle{B_{2k}}} — числа Бернулли.

Рамануджан даёт несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя (см. главу 14, уравнения 25.1 и 25.3 книги[8])

\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}

Саймон Плафф[en] получил ряды другого типа[9]

\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\tfrac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\tfrac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; ,

а также аналогичные представления для других постоянных ζ(2n+1).

Были также получены другие представления в виде рядов, включая

\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}
\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
    \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
    {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
    \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}
\zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5}
\zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3}

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

Дэвид Бродхёрст (D. J. Broadhurst) получил представление в виде ряда[10], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов[править | править вики-текст]

Существует также большое количество самых различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

  • 
\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x-1}\, dx

или

  • 
\zeta(3) =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x+1}\, dx

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана,[11] до достаточно сложных, таких, как

Также связь постоянной Апери с производными гамма-функции:

  • 
\zeta(3) = -\frac{1}{2}\Gamma'''(1)+\frac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- [\Gamma'(1)]^3 = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)\qquad
(упр. 30.10.1 в[15])

позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма-функции.

Вычисление десятичных цифр[править | править вики-текст]

Число известных значащих цифр постоянной Апери \zeta(3) значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[16].

Число известных значащих цифр постоянной Апери ζ(3)
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1735 16 Леонард Эйлер[4][5]
1887 32 Томас Иоаннес Стилтьес
1996 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»520 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 000 000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 536 006 Patrick Demichel
1998, февраль 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»14 000 074 Sebastian Wedeniwski
1998, март 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»32 000 213 Sebastian Wedeniwski
1998, июль 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»64 000 091 Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»128 000 026 Sebastian Wedeniwski[17]
2001, сентябрь 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»200 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»600 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 000 000 000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[18]
2009, январь 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[19]
2009, март 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[19]
2010, сентябрь 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000 001 000 Alexander J. Yee[20]

Другие постоянные вида ζ(2n+1)[править | править вики-текст]

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ζ(2n+1) при n>1. В частности, в работах Вадима Зудилина[en] и Т. Ривола (Tanguy Rivoal) показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ζ(2n+1)[21], а также что по крайней мере одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) является иррациональным[22].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Simon Plouffe, «Zeta(3) or Apery constant to 2000 places», <http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
  2. 1 2 Roger Apéry (1979), "«Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)»", Astérisque Т. 61: 11–13 
  3. A. van der Poorten (1979), "«A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report»", The Mathematical Intelligencer Т. 1: 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
  4. 1 2 Leonhard Euler (1741), "«Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735 г.)»", Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 8: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. 
  5. 1 2 Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "«Finding the sum of any series from a given general term»", arXiv:0806.4096, <http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. 
  6. Leonhard Euler (1773), "«Exercitationes analyticae»", Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 17: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
  7. H. M. Srivastava (2000), "«Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions»", Taiwanese Journal of Mathematics Т. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487, <http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. 
  8. Bruce C. Berndt (1989), «Ramanujan's notebooks, Part II», Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3, <http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3>. Проверено 8 февраля 2011. 
  9. Simon Plouffe (1998), «Identities inspired from Ramanujan Notebooks II», <http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
  10. D. J. Broadhurst (1998), «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)», arXiv (math.CA/9803067), <http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067>. Проверено 8 февраля 2011. 
  11. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969.
  12. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
  13. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
  14. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
  15. М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций. Наука, Москва, 1969.
  16. X. Gourdon & P. Sebah, «Constants and Records of Computation», numbers.computation.free.fr, <http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
  17. Sebastian Wedeniwski (2001), «The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places», Project Gutenberg 
  18. Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), «The Apéry's constant: ζ(3)», <http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
  19. 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), «Large Computations», <http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html>. Проверено 8 февраля 2011. 
  20. Alexander J. Yee (2010), «Zeta(3) - Apery's Constant», <http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/>. Проверено 8 февраля 2011. 
  21. T. Rivoal (2000), "«La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs»", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Т. 331: 267–270 
  22. В. В. Зудилин Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — Т. 56, вып. 4(340). — С. 149–150.

Ссылки[править | править вики-текст]