Эта статья входит в число добротных статей

Постоянная Хинчина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году[1]. Обозначение [2] или [3] соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.

Определение[править | править код]

Для почти любого вещественного числа элементы его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от [4]. Эта величина и называется постоянной Хинчина.

Иными словами, если

,

где целое, а остальные натуральные, то для почти всех выполняется

(последовательность A002210 в OEIS).

При этом постоянную Хинчина можно выразить в виде бесконечного произведения

.

Значимость[править | править код]

Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь[5], изящный и глубокий результат[6], один из самых поразительных фактов в математике[7].

Схема доказательства[править | править код]

Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нарджевскому[pl][8], которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию[9].

Поскольку первый элемент разложения числа в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то мы можем ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке , то есть множеством . Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида . Введём отображение Гаусса :

.

Для каждого борелева подмножества множества также определим меру Гаусса — Кузьмина:

.

Тогда  — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств . Мера эквивалентна мере Лебега на , но обладает дополнительным свойством: преобразование сохраняет меру . Более того, можно показать, что  — эргодическое преобразование измеримого пространства , снабжённого мерой (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой -интегрируемой функции на среднее значение  — одно и то же почти для всех :

для почти всех по мере [9].

Выбирая функцию , получаем:

для почти всех из .

Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых элементов цепной дроби при , а справа — постоянную Хинчина[9].

Разложение в ряд[править | править код]

Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда[10]:

,

или, разделяя члены ряда,

,

где  — некоторое фиксированное целое число,  — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что быстро приближается к нулю с ростом . Можно также дать разложение через дилогарифм[2]:

.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь различных чисел[править | править код]

Средние геометрические от первых элементов разложения в цепную дробь различных чисел в зависимости от . Зелёный график соответствует числу  — похоже, что он сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано. Жёлтый график соответствует описанному в тексте числу, специально построенному так, чтобы график сходился к постоянной Хинчина. Красный и синий графики соответствуют числу e и числу , соответственно; они не сходятся к постоянной Хинчина.

Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа , кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению[3][11]. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.

К числам , про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма . Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших ), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число , , сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом[3].

Средние степенные[править | править код]

Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности среднее степени равняется

.

Если  — элементы разложения числа в цепную дробь, то для любого и почти всех даются формулой

.

Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции в вышеизложенном доказательстве[2][8]. Можно показать, что значение получается в пределе .

В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно

(последовательность A087491 в OEIS).

Примечания[править | править код]

  1. Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нем.] // Compositio Mathematica. — 1935. — Т. 1. — С. 361—382. MR: 1556899.
  2. 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997.
  3. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Khinchin's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Хинчин, 1960, § 16 Средние значения, с. 110—111.
  5. McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers. Дата обращения: 18 января 2016. Архивировано 24 февраля 2012 года.
  6. Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вып. 3(65). — С. 197–212.
  7. Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — Errata and Addenda. — ISBN 978-0521818056.
  8. 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR: 13:757b.
  9. 1 2 3 Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — ISBN 978-0883850121.
  10. Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье использовано немного отличающееся от стандартного определение дзета-функции Гурвица.
  11. Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR: 2361853. См. последовательность A089618 в OEIS.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]