Поток Риччи

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение[править | править вики-текст]

Уравнение потока Риччи имеет вид:

где обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ), и  — её тензор Риччи.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Формально говоря, система уравнений , задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений предложенная Детурком, такая, что если риманова метрика на компактном многообразии и ,  — решения систем и , то изометрично для всех .
    • Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
  • Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при , можно получить решения лишь в одну сторону по , а именно .
  • В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при . Решение продолжается на максимальный интервал . В случае если конечно, при приближении к кривизна многообразия идёт к бесконечности и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
  • Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик[править | править вики-текст]

  • Для объёма метрики верно соотношение
  • Для скалярной кривизны метрики верно соотношение
где определяется как для ортонормированного репера в точке.
  • В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
  • Более того нижняя грань скалярной кривизны не убывает.
  • Для каждого -ортонормированного репера в точке существует так называемый сопутствующий -ортонормированный репер . Для тензора кривизны , записанного в этом базисе, верно соотношение
где  — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.
  • Билинейная квадратичная форма определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны приписывается другой тензор кривизны . Решения ОДУ
играют важную роль в теории потоков Риччи.
  • Выпуклые множества в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ , то при называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому , то тоже верно и для метрик получаемых из неё потоком Риччи. Рассужедения такого сорта называются «принципом максимума» для поток Риччи.
  • К инвариантным множествам относятся

Размерность 3[править | править вики-текст]

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого и можно подобрать репер , в котором диагонализуется в базисе , , , скажем,

.

Тогда

История[править | править вики-текст]

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x. С помощю потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях[1] опубликованных с 2002 по 2003 год, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.
  2. http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».

Литература[править | править вики-текст]

  • Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
  • Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
  • Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]