Поток векторного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:

Поток векторного поля через поверхность[править | править исходный текст]

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности S. По определению

{{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS}

где \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), \mathbf{n} — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы \mathbf{n} было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), dS — элемент поверхности.

  • В трёхмерном случае \mathbf{X} = (x,y,z),
\mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \left( F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X}) \right), а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS

тогда поток записывается в виде

{{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}.

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения \mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z). Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность S, будет равен потоку векторного поля \mathbf{v} через поверхность S.

См. также[править | править исходный текст]