Правило Рунге

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.[1]

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге[править | править код]

Оценка точности вычисления определённого интеграла[править | править код]

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул левых и правых прямоугольников , для формул средних прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .[2] В общем случае . Под понимается порядок точности использованного численного метода.

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где  — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где  — заданная точность.

Оценка точности численного решения ОДУ[править | править код]

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h () и второй — с шагом h/2 (). Формула[3]

дает погрешность решения . Под понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

Примечания[править | править код]

  1. Ivan P. Gavrilyuk, «2.4 A posteriori error estimation and automatic grid generation.» // Exact and Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs, Springer, 2011, ISBN 9783034801072, pages 76-77: «The first possibility is the classic technique which has been proposed by Carl Runge.»
  2. Огородников А. С., Орлов О. В.,6. Правило Рунге оценки погрешности интегрирования Архивная копия от 14 сентября 2013 на Wayback Machine // Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование, Лабораторный практикум по курсу «Численные методы» (ЭНИН) Архивная копия от 8 декабря 2015 на Wayback Machine, Томский политехнический университет
  3. П. В. Виноградова, А. Г. Ереклинцев, 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Архивная копия от 14 сентября 2013 на Wayback Machine // ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, Дальневосточный государственный университет путей сообщения, 2011

Литература[править | править код]

  • РУНГЕ ПРАВИЛО // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  • Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962;
  • Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1979. А. Б. Иванов.

Ссылки[править | править код]