Правило Руффини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Правило Руффини — эффективная техника деления многочлена на бином вида В 1804 году её описал Паоло Руффини.[1] Правило Руффини — частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным.

Алгоритм[править | править код]

Правило устанавливает метод для деления многочлена

на бином

для получения частного

;

На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P(x) на Q(x).

Для того, чтобы поделить P(x) на Q(x) согласно данному алгоритму, нужно

  1. Взять коэффициенты P(x) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией:
  2. Спустить крайний левый коэффициент (an) вниз, сразу под линию:
  3. Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией:
  4. Сложить два значения, расположенные в одном столбце:
  5. Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа:

Числа bi являются коэффициентами частного (R(x)), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток. Согласно теореме Безу, этот остаток равен P(r).

Использование[править | править код]

Деление на многочлен x - r[править | править код]

Рабочий пример деления многочленов по алгоритму, описанному выше.

Пусть:

Мы хотим найти используя правило Руффини. Основная проблема в том, что это не бином вида , а скорее Мы должны переписать его так:

Теперь применяем алгоритм:

1. Выписываем коэффициенты и число Заметим, что поскольку не содержит коэффициента мы записываем 0:

2. Спускаем первый коэффициент:

3. Умножаем последнее полученное значение

4. Складываем значения:

5. Повторяем шаги 3 и 4:

 — коэффициенты частного,
 — остаток.

Итак, поскольку исходное число = делитель × частное + остаток, тогда

, где

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Кажори, Florian. Horner's method of approximation anticipated by Ruffini (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1911. — Vol. 17, no. 8. — P. 389—444.