Правило произведения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.

Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: , а для производной следующим: .

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.[1]

Вот аргумент Лейбница: пусть и - две дифференцируемые функции от . Тогда дифференциал от равен:

Поскольку произведение несоизмеримо меньше чем или , Лейбниц пришел к выводу, что:

и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал , то получим:

Формула также может быть записана в нотации Лагранжа[2]:

Вариации и обобщения

[править | править код]

Многократная производная

[править | править код]

Для -ой производной существует обобщённая формула Лейбница:

где  — биномиальные коэффициенты.

Градуированная алгебра

[править | править код]

Операция на градуированной алгебре удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ,

где  — умножение в . Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

Ассоциативная алгебра

[править | править код]

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора По этой причине оператор называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор

Как следствие,

Примечания

[править | править код]
  1. Michelle Cirillo (August 2007). "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher. 101 (1): 23—27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. Архивировано 13 августа 2022. Дата обращения: 4 ноября 2023.
  2. Доказательство правила дифференцирования произведения функций. Томский Политехнический Университет. Дата обращения: 4 ноября 2023. Архивировано 4 ноября 2023 года.