Правило произведения

Правило произведения или тождество Лейбница — характерное свойство дифференциальных операторов.

$\delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).$

Часто тождество Лейбница включается как аксиома при определении дифференцирования.

Примеры

• Для производной

  $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

• Для дифференциала

  $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Вариации и обобщения

Многократная производная

Для $n$-й производной существует обобщённая формула Лейбница:

$\left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},$ где $C_{n}^{k}$ — биномиальные коэффициенты.

Градуированная алгебра

Операция $\delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}$ на градуированной алгебре $\Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых $K\in \Omega ^{k}$, $F\in \Omega$

$\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)$

где $\wedge$ — умножение в $\Omega$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

Ассоциативная алгебра

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_{A}=[A,\cdot ].$ По этой причине оператор $D_{A}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].$

Как следствие, $[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].$