Правило произведения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правило произведения или тождество Лейбница — характерное свойство дифференциальных операторов.

\delta(f\times g)=(\delta f)\times g+f\times(\delta g).

Часто тождество Лейбница включается как аксиома при определении дифференцирования.

Примеры[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Операция \delta_l \colon \oplus_k\Omega^k \to \oplus_k\Omega^{k+l} на градуированной алгебре \Omega = \oplus_k \Omega^k удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых K \in \Omega^k, F \in \Omega

\delta_l(K \wedge F) = \delta_l(K) \wedge F + (-1)^{kl} K \wedge \delta_l(F)

где \wedge — умножение в \Omega. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: [A,BC] = [A,B]C + B [A,C]. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора D_A = [A,\cdot]. По этой причине оператор D_A называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор \tilde D_A = [\cdot,A].

Как следствие, [A,B_1B_2\dots B_n] = [A,B_1]B_2\dots B_n + B_1[A,B_2]\dots B_n +\dots + + B_1B_2\dots [A,B_n].