Правильные многомерные многогранники

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Определение[править | править вики-текст]

Флагом n-мерного многогранника P называется набор его граней F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1}), где F_i есть i-мерная грань многогранника Р, причем F_i \subseteq F_{n-1} для i= 1, 2,\dots,n-1.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник P, у которого для любых двух его флагов F и F' найдётся движение P, переводящее F в F'.


Классификация[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название Изображение
(диаграмма Шлегеля)
Символ
Шлефли
Ячейка Число
ячеек
Число
граней
Число
рёбер
Число
вершин
Пятиячейник Schlegel wireframe 5-cell.png {3,3,3} правильный
тетраэдр
5 10 10 5
Тессеракт Schlegel wireframe 8-cell.png {4,3,3} куб 8 24 32 16
Шестнадцатиячейник Schlegel wireframe 16-cell.png {3,3,4} правильный
тетраэдр
16 32 24 8
Двадцатичетырёхячейник Schlegel wireframe 24-cell.png {3,4,3} октаэдр 24 96 96 24
Стодвадцатиячейник Schlegel wireframe 120-cell.png {5,3,3} додекаэдр 120 720 1200 600
Шестисотячейник Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png {3,3,5} правильный
тетраэдр
600 1200 720 120

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название Символ Шлефли
n-мерный
правильный симплекс
{3;3;...;3;3}
n-мерный
гиперкуб
{4;3;...;3;3}
n-мерный
гипероктаэдр
{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

Углы[править | править вики-текст]

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли  \{p_1, p_2, p_3, \dots, p_{N-3}, p_{N-2}, p_{N-1}\} , определяется по формуле[1]:

 \sin^2\beta=\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-1}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-2}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-3}}}{\frac{\ddots}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_3}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_2}}{1-\cos^2\frac{\pi}{p_1}}}}}}}

где \beta — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы[править | править вики-текст]

Радиус вписанной N-мерной сферы:

r_N=r_{N-1} \operatorname{tg} {\frac{T_N}{2}},

где r_{N-1} — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N,

где V_{N-1} — объём (N-1)-мерной грани, A_{N-1} — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Ссылки[править | править вики-текст]