Правильные многомерные многогранники

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Определение[править | править вики-текст]

Флагом n-мерного многогранника называется набор его граней , где есть -мерная грань многогранника Р, причем для .

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник , у которого для любых двух его флагов и найдётся движение , переводящее в .


Классификация[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название Изображение
(диаграмма Шлегеля)
Символ
Шлефли
Ячейка Число
ячеек
Число
граней
Число
рёбер
Число
вершин
Пятиячейник Schlegel wireframe 5-cell.png {3,3,3} правильный
тетраэдр
5 10 10 5
Тессеракт Schlegel wireframe 8-cell.png {4,3,3} куб 8 24 32 16
Шестнадцатиячейник Schlegel wireframe 16-cell.png {3,3,4} правильный
тетраэдр
16 32 24 8
Двадцатичетырёхячейник Schlegel wireframe 24-cell.png {3,4,3} октаэдр 24 96 96 24
Стодвадцатиячейник Schlegel wireframe 120-cell.png {5,3,3} додекаэдр 120 720 1200 600
Шестисотячейник Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png {3,3,5} правильный
тетраэдр
600 1200 720 120

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Название Символ Шлефли
n-мерный
правильный симплекс
{3;3;...;3;3}
n-мерный
гиперкуб
{4;3;...;3;3}
n-мерный
гипероктаэдр
{3;3;...;3;4}

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

Углы[править | править вики-текст]

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли , определяется по формуле[1][2][3]:

где — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы[править | править вики-текст]

Радиус вписанной N-мерной сферы:

где — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

где — объём (N-1)-мерной грани, — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения[править | править вики-текст]

В размерности n = 4[править | править вики-текст]

В размерности n ≥ 5[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
  2. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
  3. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Ссылки[править | править вики-текст]