Правильный четырнадцатиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Четырнадцатиугольник
Правильный четырнадцатиугольник
Правильный четырнадцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 14
Символ Шлефли {14}, t{7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D14) порядок 2×14
Внутренний угол примерно 154°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Четырнадцатиугольник (или тетрадекагон от греч. τετραδεκάγωνο) — это многоугольник с четырнадцатью сторонами.

Симметрия[править | править код]

Симметрии правильных четырнадцатиугольников. Вершины окрашены согласно их симметриям. Синие зеркала проведены через вершины, а фиолетовые — через середины сторон. Порядок группы вращений указан в центре фигуры.

Правильный четырнадцатиугольник имеет симметрию Dih14 порядка 28. Имеется 3 подгруппы диэдральной симметрии: Dih7, Dih2, Dih1, а также 4 циклических группы симметрии: Z14, Z7, Z2, Z1.

Справа на рисунке можно видеть 10 симметрий четырнадцатиугольника. Конвей использовал для обозначения симметрий буквы вместе с порядком группы[1]. Полная симметрия правильной фигуры будет равна r28, а отсутствие симметрии отмечается как a1. Диэдральные симметрии делятся по тому, проходят они через вершины (используется буква d, от «diagonal») или через середины сторон (используется буква p, от «perpendicular»). Если же оси симметрии проходит через вершины и середины сторон, используется буква i. Циклические симметрии помечаются буквой g (от «gyration»). Каждая подгруппа симметрии допускает одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g14 не даёт свободы, но стороны многоугольника могут рассматриваться как имеющие направление.

Правильный четырнадцатиугольник[править | править код]

Площадь правильного четырнадцатиугольника со стороной a задаётся формулой

Построение четырнадцатиугольника[править | править код]

Правильный четырнадцатиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки[2]. Однако, его можно построить с помощью метода невсиса, если использовать его вместе с трисекцией угла,[3] или с линейкой с метками[4] как показано на следующих двух примерах.

Четырнадцатиугольник в заданной окружности:
Анимация (1м 47с) с помощью метода невсиса построения четырнадцатиугольника в окружности радиуса , опираясь на трисекцию угла с помощью томагавка.
Четырнадцатиугольник с заданной длиной стороны:
Анимация (1м 20с) построения с помощью метода невсиса с применением маркированой линейки, согласно Дэвиду Джонсону Лейску (Крокетт Джонсону  (англ.))[4]
Приблизительная конструкция четырнадцатиугольника.

Четырнадцатиугольники Петри[править | править код]

Пространственные четырнадцатиугольники существуют в виде многоугольников Петри для многих многогранников более высокой размерности. Примеры показаны в ортогональных проекциях:

Рассечение[править | править код]

По Коксетеру любой 2m-угольный зоногон можно разбить на m(m-1)/2 ромбов. Для правильного четырнадцатиугольника m=7 и его можно разбить на 21 ромб — на 3 набора по 7 ромбов. Это разбиение основано на проекции многоугольника Петри гептеракта с 21 из 672 граней[5]. Список A006245 Архивная копия от 17 марта 2018 на Wayback Machine даёт число решений 24698, включая вращения и хиральные формы.

Разбиение на 21 ромб
7-cube graph.svg 14-gon-dissection.svg

В Малайзии[править | править код]

Шаманский бубен "Сокол".
  • В виде правильного 14-угольника чеканятся некоторые памятные золотые и серебряные малайзийские монеты. Число сторон в них символизирует число штатов Малайзийской Федерации.
  • 14-лучевая звезда изображена на гербе Малайзии, её государственном флаге и флаге и эмблеме её вооружённых сил.

В традиционном искусстве[править | править код]

Шаманский этнический 14-угольный бубен, выполненный в германской традиции.[6].

Четырнадцатиугольник также использовался в исламских декоративных узорах[7].

Другое[править | править код]

Компьютерная игра Tetradecagon Архивная копия от 21 февраля 2019 на Wayback Machine.

Абстрактный рисунок Momentia:Tetradecagon (Gaurav Bose, India)

В архитектуре: Glashouse (Bruno Taut, 1914)[8]. Хор в форме четырнадцатиугольника в церкви св. Николая в Бари[9]. Апсида церкви в Понтиньи Архивная копия от 21 февраля 2019 на Wayback Machine состоит из семи сторон четырнадцатиугольника и дополнительного полупролета.

Связанные фигуры[править | править код]

Четырнадцатиугольник имеет 14 сторон и представляется символом {14/n}. Имеется два правильных звёздчатых многоугольника — {14/3} и {14/5}, использующих те же самые вершины, но соединённые через три или через пять точек. Существует также три составных четырнадцатиугольника — {14/2} сводится к 2{7} (два семиугольника), а {14/4} и {14/6} сводятся к 2{7/2} и 2{7/3} (две различные гептаграммы), и, наконец, {14/7} сводится к семи двуугольникам.

Более глубокие усечения правильного семиугольника и гептаграмм может дать изогональные (вершинно-транзитивные) промежуточные формы с равным расстоянием между вершинами и двумя длинами рёбер. Другие усечения могут дать многоугольники двойного накрытия 2{p/q}, а именно: t{7/6}={14/6}=2{7/3}, t{7/4}={14/4}=2{7/2} и t{7/2}={14/2}=2{7}[10].

Примечания[править | править код]

  1. Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008, с. 275—278.
  2. Wantzel, 1837, с. 366–372.
  3. Gleason, 1988, с. 185–194.
  4. 1 2 Weisstein, Eric W. «Heptagon.» From MathWorld, A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 9 января 2018. Архивировано 6 июля 2018 года.
  5. Ball, Coxeter, 1947, с. 141.
  6. Обрядовый бубен «Сокол» Архивная копия от 21 февраля 2019 на Wayback Machine, Бубен с оленем Архивная копия от 13 ноября 2019 на Wayback Machine
  7. Bonner, 2017, с. 529.
  8. Nielsen, 2010, с. 75.
  9. Вёрман, 2015, с. 140.
  10. Grünbaum, 1994.

Литература[править | править код]

  • Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
  • Andrew Mattei Gleason. Angle trisection, the heptagon // The American Mathematical Monthly. — 1988. — Март (вып. 3). — С. 185–194. — doi:10.2307/2323624. Архивировано 17 сентября 2022 года.
  • W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.
    • Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Chaim Goodman-Strauss, 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.
  • Jay Bonner. Islamic geometric pattens. — Springer, 2017. — ISBN 978-1-4419-0216-0.
  • Nielsen D. Design & Nature V: Comparing Design in Nature with Science and Engineering // Fifth international conference on comapring design in nature with science engineering / Angelo Carpi, C. A. Brebbia. — WIT Press, 2010. — ISBN 978-1-84564-454-3.
  • Вёрман К. История искусств всех времен и народов. — Москва, Берлин: Директ-медиа, 2015. — Т. 3 Книга2-3. — ISBN 978-5-4475-3827-9.