Предел Бекенштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В физике, предел Бекенштейна — это верхний предел энтропии S, или количества информации I, которые могут содержаться в заданной ограниченной области пространства, имеющей конечное количество энергии; либо, с другой стороны, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания заданной физической системы вплоть до квантового уровня[1]. Это подразумевает, что информация о физической системе, или информация, необходимая для идеального описания системы, должна быть конечной, если система занимает конечное пространство и имеет конечную энергию. С точки зрения информатики это означает, что имеется максимум скорости обработки информации (предел Бремерманна) для физической системы, которая имеет конечные размеры и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически нереализуема.

Бекенштейн показал, что максимум энтропии, связанный с телом, достигается при превращении его в чёрную дыру[2]. Другими словами, при достижении предела Бекенштейна носитель информации совершает гравитационный коллапс, превращаясь в чёрную дыру[3][4].

Формулы[править | править код]

Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство:

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана, R — радиус сферы, охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия, включая массу покоя, ħ — редуцированная постоянная Планка, а c — скорость света. Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G.

В применении к информации, ограничение формулируется в виде:

где I — количество информации, выраженное как число бит, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний ()[5]. Используя эквивалентность массы и энергии, информационный предел может быть переформулирован как

где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.

Происхождение[править | править код]

Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся черных дыр. Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамики[6][7]. Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссий[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18].

Примеры[править | править код]

Черные дыры[править | править код]

Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:

где k — постоянная Больцмана, A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины, .

Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр, голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации, и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.

Человеческий мозг[править | править код]

В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.

Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит бит, что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество квантовых состояний человеческого мозга должно быть меньше .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode1981PhRvD..23..287B. Mirror link.
  2. Jacob D. Bekenstein. Black Holes and Entropy // Physical Review D. — 1973-04-15. — Т. 7, вып. 8. — С. 2333–2346. — P. 2339. — DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333.
  3. Is Information Fundamental? (англ.). www.pbs.org. Дата обращения 30 ноября 2018.
  4. Stephen Hawking. Brief Answers to the Big Questions: the final book from Stephen Hawking. — Hodder & Stoughton, 2018-10-16. — С. 95. — 183 с. — ISBN 9781473696006.
  5. Frank J. Tipler, «The structure of the world from pure numbers», Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode2005RPPh...68..897T, p. 902. Mirror link. Also released as «Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything», arXiv:0704.3276, April 24, 2007, p. 8.
  6. Ted Jacobson, «Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State», Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1260, Bibcode1995PhRvL..75.1260J. Also at arXiv:gr-qc/9504004, April 4, 1995. Also available here and here. Additionally available as an entry in the Gravity Research Foundation's 1995 essay competition. Mirror link.
  7. Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity (New York, N.Y.: Basic Books, 2002), pp. 173 and 175,
  8. Jacob D. Bekenstein, «How Does the Entropy/Information Bound Work?», Foundations of Physics, Vol. 35, No. 11 (November 2005), pp. 1805—1823, DOI:10.1007/s10701-005-7350-7, Bibcode2005FoPh...35.1805B. Also at arXiv:quant-ph/0404042, April 7, 2004.
  9. Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound», Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
  10. Raphael Bousso, «Holography in general space-times», Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/06/028, Bibcode1999JHEP...06..028B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9906022, June 3, 1999.
  11. Raphael Bousso, «A covariant entropy conjecture», Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/07/004, Bibcode1999JHEP...07..004B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9905177, May 24, 1999.
  12. Raphael Bousso, «The holographic principle for general backgrounds», Classical and Quantum Gravity, Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), pp. 997—1005, DOI:10.1088/0264-9381/17/5/309, Bibcode2000CQGra..17..997B. Also at arXiv:hep-th/9911002, November 2, 1999.
  13. Jacob D. Bekenstein, «Holographic bound from second law of thermodynamics», Physics Letters B, Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), pp. 339—345, DOI:10.1016/S0370-2693(00)00450-0, Bibcode2000PhLB..481..339B. Also at arXiv:hep-th/0003058, March 8, 2000.
  14. Raphael Bousso, «The holographic principle», Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), pp. 825—874, DOI:10.1103/RevModPhys.74.825, Bibcode2002RvMP...74..825B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/0203101, March 12, 2002.
  15. Jacob D. Bekenstein, «Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram», Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), pp. 58-65. Mirror link.
  16. Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan and Donald Marolf, «Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound», Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (September 15, 2003), Art. No. 064001, 7 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.68.064001, Bibcode2003PhRvD..68f4001B. Also at arXiv:hep-th/0305149, May 19, 2003.
  17. Jacob D. Bekenstein, «Black holes and information theory», Contemporary Physics, Vol. 45, Issue 1 (January 2004), pp. 31-43, DOI:10.1080/00107510310001632523, Bibcode2003ConPh..45...31B. Also at arXiv:quant-ph/0311049, November 9, 2003. Also at arXiv:quant-ph/0311049, November 9, 2003.
  18. Frank J. Tipler, «The structure of the world from pure numbers», Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode2005RPPh...68..897T. Mirror link. Also released as «Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything», arXiv:0704.3276, April 24, 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein’s original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. paper (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the paper.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]