Предел вдоль фильтра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.

Определение фильтра[править | править код]

Основная статья: Фильтр (математика)

Пусть дано множество Непустая система подмножеств множества называется базисом фильтра (базой) множества , если

  • для любого выполнено
  • для любых существует такое, что

Определение предела[править | править код]

Везде далее — базис фильтра (база) множества .

Предел числовой функции[править | править код]

Пусть . Число называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Обозначение предела по базе:

Предел функции со значениями в метрическом пространстве[править | править код]

Пусть - метрическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любого существует такое, что для всех выполнено неравенство

Обозначение:

Предел функции со значениями в топологическом пространстве[править | править код]

Пусть - топологическое пространство и . Точка называется пределом функции по базе если

для любой окрестности точки существует такое, что , то есть для всех выполняется включение .

Обозначение:

Замечание. Последнее "равенство" корректно использовать лишь в случаях, когда пространство - хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры[править | править код]

Обычный предел[править | править код]

Пусть топологическое пространство, и Пусть Тогда система множеств

является базисом фильтра множества и обозначается или просто Предел функции по базе множества называется пределом функции в точке и обозначается записью .

Односторонние пределы[править | править код]

Основная статья: Односторонние пределы
  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к

  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к

Пределы на бесконечности[править | править код]

  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается или Предел называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.

  • Пусть и Тогда система множеств

является базисом фильтра и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности[править | править код]

Система множеств где

является базисом фильтра и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.

Интеграл Римана[править | править код]

Основная статья: Интеграл Римана

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка коллекцию точек Назовём диаметром разбиения число Тогда система множеств

является базисом фильтра в пространстве всех размеченных разбиений Определим функцию равенством

Тогда предел называется интегралом Римана функции на отрезке

Литература[править | править код]

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.