Предел (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История[править | править код]

Основной источник: [1]

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности[править | править код]

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число называется пределом последовательности , если

, , : .

Предел последовательности обозначается . Куда именно стремится , можно не указывать, поскольку , оно может стремиться только к .

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  • (если оба предела существуют)
  • (если оба предела существуют)
  • (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если и , то (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции[править | править код]

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен .

Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если существует , такое что выполняется .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности[править | править код]

Пусть  — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности (например, метрическое пространство). Пусть  — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки лежат почти все члены последовательности то есть

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».