Представление Гейзенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 ⛭  Квантовая механика

Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления Гейзенберга[править | править вики-текст]

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга[править | править вики-текст]

Пусть - оператор в представлении Шрёдингера, а - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

где - оператор эволюции:

где - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

и унитарное преобразование принимает вид:

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга[править | править вики-текст]

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

где - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

где - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

Теперь рассмотрим среднее значение оператора некоторой наблюдаемой величины:

Таким образом, оператор в представлении Гейзенберга определяется формулой:

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

Продифференцируем формулу по времени и используем уравнение , тогда получим уравнение движения операторa в Гейзенберговском представлении:

где частная производная обозначает явную зависимость оператора от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.[править | править вики-текст]

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

Т. к. операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение перепишется в виде

, где было использовано (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения

Применение[править | править вики-текст]

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д., Квантовые поля. М.: Наука, 1980. Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга. стр.55-56.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
  • Мессиа А., Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Глава VIII. Параграф 10. Представление Гейзенберга. стр.306-307.
  • Садбери А., Квантовая механика и физика элементарных частиц (Мир, 1989) (490с)Параграф 3.4. Гейзенберговская картина. стр.154-155.
  • В. Г. Сербо, Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки[править | править вики-текст]