Представление Лакса
Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса. Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.
Пара Лакса — пара операторов , зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса:
- .
В таком случае величины являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.
Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов. Например, уравнение Кортевега — де Фриза:
может быть представлено посредством пары:
- .
Множество даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.
Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона, цепочка Тоды, волчок Ковалевской, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.
Литература
[править | править код]- P. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1968. — Т. 21, вып. 5. — С. 467–490. — doi:10.1002/cpa.3160210503.
- P. Lax, R. S. Phillips. Scattering Theory for Automorphic Functions // Bull. Am. Math. Soc.. — 1980. — Т. 2, вып. 2.