Преобразование Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Преобразование Фурье
Изображение
Краткое имя/название FT
Названо в честь Фурье, Жан-Батист Жозеф
Описывающая закон или теорему формула [1]
Обозначение в формуле , , и
Обратно к обратное преобразование Фурье[d]
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Преобразование Фурье (символ ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами

Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами и выглядит как

Обратное преобразование определяется так

При выборе и или формулы становятся особенно просты, в них исчезают нормировочные множители и формулы отличаются только знаком степени, вследствие чего большинство нижеприведенных формул упрощаются на постоянные константы.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Свойства[править | править код]

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

  • Справедливо равенство Парсеваля: если , то преобразование Фурье сохраняет -норму:

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .

  • Формула обращения:

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний с частотами , амплитудами и фазовыми сдвигами соответственно.

  • Теорема о свёртке: если , тогда
, где

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и дифференцирование. Если , то

Из этой формулы легко выводится формула для -й производной:

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и сдвиг.

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

  • Преобразование Фурье и растяжение.
  • Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа .

Принцип неопределенности[править | править код]

Вообще говоря, чем больше концентрация f(x), тем более размазанным должно быть её преобразование Фурье (ω). В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в x раз, то её преобразование Фурье растягивается в ω раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и её преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределенности, рассматривая функцию и её преобразование Фурье как сопряжённые переменные относительно симплектической формы на время-частоту: c точки зрения линейного канонического преобразования, преобразование Фурье является поворотом на 90° во временно-частотной области и сохраняет симплектическую форму.

Предположим, что f(x) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма выражается как

Из теорема Планшереля следует, что (ω) также нормировано.

Разброс вокруг математического ожидания может быть измерен дисперсией, определяемой как

.

В терминах вероятности это центральный второй момент функции .

Принцип неопределённости гласит, что если f(x) абсолютно непрерывна, а функции x f(x) и f′(x) квадратично-интегрируемы, то

,

где нормировочный множитель перед преобразованием Фурье равен , при нормировочном множителе равном правое выражение переходит в . Извлекая корни из обоих выражений правое выражение становится и соответственно, определяет половину ширины окна (стандартное отклонение).

Равенство достигается только в случае

где σ > 0 произвольно и так, что f является L2-нормированным. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ2, центрированная на нуле, а её преобразование Фурье — гауссовская функция с дисперсией σ-2.

Фактически, из этого неравенства следует, что:


для любого x0, ω0R.

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принцип неопределенности Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана, который выражается как:

где H(p) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p(x):

,

где логарифмы могут быть в любой последовательной базе. Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Применения[править | править код]

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Разновидности[править | править код]

Многомерное преобразование[править | править код]

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой

Здесь и  — векторы пространства ,  — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами , частотами и фазовыми сдвигами соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

  • Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
  • Изменяется константа в теореме о свёртке:
  • Преобразование Фурье и сжатие координат:

Ряды Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой -периодической функции имеем

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование[править | править код]

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть  — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем какие-нибудь точек на комплексной плоскости . Теперь многочлену мы можем сопоставить новый набор из чисел: . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен степени не выше с такими значениями в соответственно (см. Интерполяция).

Набор и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора . В качестве точек обычно выбирают корни -й степени из единицы:

.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины напрямую требует порядка операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка операций.

Оконное преобразование[править | править код]

где даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала в окрестности момента времени .

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию , причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты[править | править код]

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты[править | править код]

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где  — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Важные формулы[править | править код]

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. и обозначают Фурье компоненты функций и , соответственно. и должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как , зависят от соглашения, какая форма определения для преобразования Фурье использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

Функция Образ Примечания
1 Линейность
2 Запаздывание
3 Частотный сдвиг
4 Если большое, то сосредоточена около нуля, и становится плоским
5 Свойство преобразования Фурье от -й производной
6 Это обращение правила 5
7 Запись означает свёртку и . Это правило — теорема о свёртке
8 Это обращение 7
9 означает дельта-функцию Дирака
10 Обращение 9.
11 Здесь  — натуральное число,  — -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 Следствие 3 и 10
13 Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера
14 Также из 1 и 12
15 Показывает, что функция Гаусса совпадает со своим изображением
16 Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот, а функция sinc(x) — её временной эквивалент
17 Здесь  — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18 Обобщение 17
19 Обращение 17
20 Здесь  — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. 2-19.1 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ИСО, 2019. — 36 с.