Приближение эйконала

В теоретической физике приближение эйконала (греч. Εἰκών для подобия, значка или изображения) или эйкональное приближение представляет собой приближенный метод, полезный в задачах о рассеянии частиц и волн, которые встречаются в оптике, сейсмологии, квантовой механике, квантовой электродинамике и разложении по парциальным волнам.

Качественное описание

Главное преимущество приближения эйконала состоит в том, что уравнения сводятся к дифференциальному уравнению с одной переменной. Это сокращение до одной переменной является результатом приближения эйконала, которое позволяет нам выбрать прямую линию в качестве особого направления.

Связь с приближением ВКБ

Первые шаги, связанные с приближением эйконала в квантовой механике, очень тесно связаны с квазиклассическим приближением (ВКБ) для одномерных волн. Метод ВКБ, как и приближение эйконала, приводит уравнения к дифференциальному уравнению с одной переменной. Но сложность приближения ВКБ состоит в том, что эта переменная описывается траекторией частицы, которая, в общем случае, сложна.

Формальное описание

Используя приближение ВКБ, можно записать волновую функцию рассеянной частицы в терминах действия S:

$\Psi =e^{iS/{\hbar }}$

Подставляя волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера без наличия магнитного поля, получаем

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}\Psi =(E-V)\Psi$

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}{e^{iS/{\hbar }}}=(E-V)e^{iS/{\hbar }}$

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S)}^{2}-{\frac {i\hbar }{2m}}{\nabla }^{2}S=E-V$

Запишем S в виде степенного ряда по ħ

$S=S_{0}+{\frac {\hbar }{i}}S_{1}+...$

Для нулевого порядка:

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S_{0})}^{2}=E-V$

Если рассматривать одномерный случай, то ${\nabla }^{2}\rightarrow {\partial _{z}}^{2}$.

Получаем дифференциальное уравнение с граничным условием :

${\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}$

для $V\rightarrow 0$, $z\rightarrow -\infty$.

${\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}$

${\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}$

Литература

• R.R. Dubey. Comparison of exact solution with Eikonal approximation for elastic heavy ion scattering. — 3rd. — NASA, 1995. Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine
• W. Qian. Eikonal approximation in partial wave version. — 3rd. — 1989. Архивная копия от 9 июля 2021 на Wayback Machine
• M. Lévy. "Eikonal Approximation in Quantum Field Theory". Phys. Rev. Maryland, USA.
• I. T. Todorov. "Quasipotential Equation Corresponding to the Relativistic Eikonal Approximation". Phys. Rev. D. New Jersey, USA. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013.
• D.R. Harrington. "Multiple Scattering, the Glauber Approximation, and the Off-Shell Eikonal Approximation". Phys. Rev. New Jersey, USA.

Ссылки

• [1] Архивная копия от 31 августа 2021 на Wayback Machine Приближение Эйконала К. В. Шаджеш, факультет физики и астрономии, Университет Оклахомы